( 3,0 pts) Determine o intervalo de convergência da série de potências
f(x)=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2^{n}}{\ln (n+1)}(x-1)^{n}
Resolução: Vamos utilizar o teste da razão para determinar o raio de convergência. Chamando a_{n}=\frac{2^{n}}{\ln (n+1)}(x-1)^{n}, temos que
\begin{aligned} \lim _{n \rightarrow \infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_{n}}\right| & =\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{2^{n+1}}{\ln (n+2)}|x-1|^{n+1} \cdot \frac{\ln (n+1)}{2^{n}} \frac{1}{|x-1|^{n}} \\\ & =2 \cdot|x-1| \lim _{n \rightarrow \infty}\left[\frac{\ln (n+1)}{\ln (n+2)}\right] \\\ & =2 \cdot|x-1| \end{aligned}
pois, por L’Hospital
\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{\ln (x+1)}{\ln (x+2)}=\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{x+2}{x+1}=\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{1+(2 / x)}{1+(1 / x)}=1 .
Assim, pelo teste da razão, a série converge para 2 \cdot|x-1|<1 e diverge para 2 \cdot|x-1|>1.
Ainda devemos analisar quando 2 \cdot|x-1|=1, isto é, quando x-1= \pm \frac{1}{2}.
Primeiro caso: quando x-1=-\frac{1}{2}, isto é, x=\frac{1}{2} temos a série
f\left(\frac{1}{2}\right)=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2^{n}}{\ln (n+1)}\left(-\frac{1}{2}\right)^{n}=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{\ln (n+1)} .
Como \frac{1}{\ln (x+1)} é decrescente e \lim _{x \rightarrow \infty} \frac{1}{\ln (x+1)}=0, segue do Teste para Séries
Alternadas que a série f\left(\frac{1}{2}\right) é convergente.
Segundo caso: 9 quando x-1=\frac{1}{2}, isto é, x=\frac{3}{2} temos a série
f\left(\frac{3}{2}\right)=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2^{n}}{\ln (n+1)}\left(\frac{1}{2}\right)^{n}=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{\ln (n+1)} .
Usando o Teste da Comparação temos que
\frac{1}{\ln (n+1)} \geq \frac{1}{n+1}
Como a série harmônica diverge, segue que f\left(\frac{3}{2}\right) também diverge.
Concluímos que o intervalo de convergência é \frac{1}{2} \leq x<\frac{3}{2}.

Passo 1

O enunciado pede o intervalo de convergência da série de potências
f(x)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{2^{n}}{\ln(n+1)}\,(x-1)^{n}.
O conteúdo principal aqui é determinar o raio de convergência usando o teste da razão, e depois investigar a convergência nos pontos finais do intervalo encontrado.

Passo 2

Definimos
a_{n}=\frac{2^{n}}{\ln(n+1)}\,(x-1)^{n}
e aplicamos o teste da razão, calculando
\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_{n}}\right| =\lim_{n\to\infty}\frac{2^{n+1}}{\ln(n+2)}\,|x-1|^{n+1}\;\frac{\ln(n+1)}{2^{n}\,|x-1|^{n}} =2\,|x-1|\;\lim_{n\to\infty}\frac{\ln(n+1)}{\ln(n+2)}.
Como
\lim_{n\to\infty}\frac{\ln(n+1)}{\ln(n+2)}=1,
segue que
\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_{n}}\right|=2\,|x-1|.

Passo 3

Pelo teste da razão, a série converge se
2\,|x-1|<1 \quad\Longleftrightarrow\quad |x-1|<\tfrac12,
isto é, para
1-\tfrac12<x<1+\tfrac12 \quad\Longleftrightarrow\quad \tfrac12<x<\tfrac32.
Fora desse intervalo temos divergência. Resta examinar os extremos x=\tfrac12 e x=\tfrac32.

Passo 4

No extremo x=\tfrac12 temos
f\bigl(\tfrac12\bigr) =\sum_{n=1}^{\infty}\frac{2^{n}}{\ln(n+1)}\Bigl(-\tfrac12\Bigr)^{n} =\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{\ln(n+1)}.
Como a sequência b_{n}=1/\ln(n+1) é positiva, monótona decrescente e tende a zero, o teste de séries alternadas garante que essa série converge.

Passo 5

No extremo x=\tfrac32 temos
f\bigl(\tfrac32\bigr) =\sum_{n=1}^{\infty}\frac{2^{n}}{\ln(n+1)}\Bigl(\tfrac12\Bigr)^{n} =\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{\ln(n+1)}.
Para todo n\ge1 temos \ln(n+1)\le n+1, logo
\frac{1}{\ln(n+1)}\ge\frac{1}{n+1}.
Como \sum_{n=1}^{\infty}1/(n+1) é a série harmônica (menos o primeiro termo) e diverge, o teste da comparação implica que esta série também diverge.

Resposta

O intervalo de convergência da série é
\bigl[\tfrac12,\tfrac32\bigr).

Exercícios relacionados