Assim, pelo teste da razão, a série converge para 2 \cdot|x-1|<1 e diverge para 2 \cdot|x-1|>1.
Ainda devemos analisar quando 2 \cdot|x-1|=1, isto é, quando x-1= \pm \frac{1}{2}.
Primeiro caso: quando x-1=-\frac{1}{2}, isto é, x=\frac{1}{2} temos a série
Como \frac{1}{\ln (x+1)} é decrescente e \lim _{x \rightarrow \infty} \frac{1}{\ln (x+1)}=0, segue do Teste para Séries
Alternadas que a série f\left(\frac{1}{2}\right) é convergente.
Segundo caso: 9 quando x-1=\frac{1}{2}, isto é, x=\frac{3}{2} temos a série
Como a série harmônica diverge, segue que f\left(\frac{3}{2}\right) também diverge.
Concluímos que o intervalo de convergência é \frac{1}{2} \leq x<\frac{3}{2}.
Passo 1
O enunciado pede o intervalo de convergência da série de potências
O conteúdo principal aqui é determinar o raio de convergência usando o teste da razão, e depois investigar a convergência nos pontos finais do intervalo encontrado.