Considere o conjunto B=\left\{1+\frac{1}{2^{n}} \in \mathbb{R} ; n \in \mathbb{N}\right\}.
a) Mostre que B é limitado.
b) Determine \sup B e \inf B.

Passo 1

O conjunto é
B = \Bigl\{\,1 + \tfrac{1}{2^n} \;\bigm|\; n\in\mathbb{N}\Bigr\}.
Queremos mostrar que B é limitado e então encontrar \sup B e \inf B.
O conteúdo usado será a definição de conjunto limitado (existência de cota superior e inferior) e as definições de supremum (menor das cotas superiores) e ínfimum (maior das cotas inferiores).

Passo 2

Mostramos que B é limitado:
Para todo n\in\mathbb{N} vale
0 < \frac{1}{2^n} \le \frac{1}{2},
logo
1 < 1 + \frac{1}{2^n} \le 1 + \frac{1}{2} = \frac{3}{2}.
Isso prova que 1 é uma cota inferior de B e \tfrac{3}{2} é uma cota superior de B. Portanto B é limitado.

Passo 3

Determinamos \sup B:
Já sabemos que \tfrac{3}{2} é uma cota superior. Se existisse uma cota c<\tfrac{3}{2}, então c<1+\tfrac{1}{2}, mas 1+\tfrac{1}{2}\in B, contradizendo que c seja cota superior. Logo \sup B = \tfrac{3}{2}.

Passo 4

Determinamos \inf B:
Já sabemos que 1 é cota inferior. Para ver que é a maior, note que dados \varepsilon>0 podemos escolher n suficientemente grande de modo que
\frac{1}{2^n} < \varepsilon,
então
1 < 1 + \frac{1}{2^n} < 1 + \varepsilon.
Isso mostra que há elementos de B arbitrariamente próximos de 1, de modo que nenhuma cota inferior maior que 1 serve. Logo \inf B = 1.

Resposta

\sup B = \tfrac{3}{2} \inf B = 1

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