Prove que
1+\frac{5}{6}+\frac{25}{36}+\frac{125}{216}+\cdots=6

Passo 1

O enunciado pede a soma infinita
1 + \frac{5}{6} + \frac{25}{36} + \frac{125}{216} + \cdots
Reconhecemos uma progressão geométrica infinita de primeiro termo a=1 e razão r=\tfrac{5}{6}. Para somar, vamos usar a fórmula da soma parcial de uma PG e depois passar ao limite.

Passo 2

Seja
S_n = \sum_{k=0}^{n} r^k = 1 + r + r^2 + \cdots + r^n.
Multiplicando por r e subtraindo, obtemos
rS_n = r + r^2 + \cdots + r^{n+1},
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S_n - rS_n = 1 - r^{n+1} \quad\Longrightarrow\quad S_n(1 - r) = 1 - r^{n+1},
e portanto
S_n = \frac{1 - r^{n+1}}{1 - r}.

Passo 3

Agora substituímos r = \tfrac{5}{6}:
S_n = \frac{1 - \bigl(\tfrac{5}{6}\bigr)^{n+1}}{1 - \tfrac{5}{6}} = \frac{1 - \bigl(\tfrac{5}{6}\bigr)^{n+1}}{\tfrac{1}{6}} = 6\biggl(1 - \bigl(\tfrac{5}{6}\bigr)^{n+1}\biggr).

Passo 4

Para obter a soma infinita, tomamos o limite quando n\to\infty. Como \bigl|\tfrac{5}{6}\bigr|<1, temos
\lim_{n\to\infty} \bigl(\tfrac{5}{6}\bigr)^{n+1} = 0,
portanto
\sum_{k=0}^{\infty} \bigl(\tfrac{5}{6}\bigr)^k = \lim_{n\to\infty} S_n = 6\bigl(1 - 0\bigr) = 6.

Resposta

A soma da série é 6.

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