Considere a sequência \left(1+\frac{1}{2^{n}}\right).
a) Mostre que essa sequência é monótona decrescente.
b) Conclua que essa sequência é convergente e calcule \lim 1+\frac{1}{2^{n}}.

Passo 1

O enunciado define a sequência
a_n = 1 + \frac{1}{2^n}
e pede duas coisas:
  1. Mostrar que \bigl(a_n\bigr) é monótona decrescente.
  2. Concluir que ela converge e calcular \displaystyle\lim_{n\to\infty}a_n.
    O conteúdo necessário é o estudo de sequências monotônicas e o Teorema do Convergência de sequências monótonas e limitadas.

Passo 2

Para ver que \bigl(a_n\bigr) é decrescente, comparamos a_{n+1} e a_n:
a_{n+1} = 1 + \frac{1}{2^{n+1}} \quad\text{e}\quad a_n = 1 + \frac{1}{2^n}.
Como 2^{n+1}=2\cdot2^n, temos
\frac{1}{2^{n+1}} = \frac{1}{2\cdot2^n} = \frac{1}{2}\,\frac{1}{2^n} < \frac{1}{2^n}.
Logo
a_{n+1} = 1 + \frac{1}{2^{n+1}} < 1 + \frac{1}{2^n} = a_n,
o que prova que a sequência é estritamente decrescente.

Passo 3

Agora mostramos que \bigl(a_n\bigr) é limitada inferiormente. Como \frac{1}{2^n}>0 para todo n, segue
a_n = 1 + \frac{1}{2^n} > 1.
Portanto \bigl(a_n\bigr) é decrescente e limitada inferiormente por 1. Pelo Teorema da Convergência de sequências monotônicas, toda sequência decrescente e limitada converge.

Passo 4

Para encontrar o limite L=\lim_{n\to\infty}a_n, observamos
\lim_{n\to\infty}a_n = \lim_{n\to\infty}\Bigl(1 + \frac{1}{2^n}\Bigr) = 1 + \lim_{n\to\infty}\frac{1}{2^n}.
Como \lim_{n\to\infty}\frac{1}{2^n}=0, concluímos
L = 1 + 0 = 1.

Resposta

A sequência \bigl(1+\frac{1}{2^n}\bigr) é monótona decrescente, convergente e
\lim_{n\to\infty}\Bigl(1+\frac{1}{2^n}\Bigr) = 1.

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