Considere a sequência
.
a) Mostre que essa sequência é monótona decrescente.
b) Conclua que essa sequência é convergente e calcule
.
a) Mostre que essa sequência é monótona decrescente.
b) Conclua que essa sequência é convergente e calcule
Passo 1
O enunciado define a sequência
e pede duas coisas:
- Mostrar que
é monótona decrescente. - Concluir que ela converge e calcular
.
O conteúdo necessário é o estudo de sequências monotônicas e o Teorema do Convergência de sequências monótonas e limitadas.
Passo 2
Para ver que
é decrescente, comparamos
e
:
Como
, temos
Logo
o que prova que a sequência é estritamente decrescente.
Passo 3
Agora mostramos que
é limitada inferiormente. Como
para todo
, segue
Portanto
é decrescente e limitada inferiormente por
. Pelo Teorema da Convergência de sequências monotônicas, toda sequência decrescente e limitada converge.
Passo 4
Para encontrar o limite
, observamos
Como
, concluímos
Resposta
A sequência
é monótona decrescente, convergente e