Analise a convergência das seguintes séries:
b) \sum_{n=1}^{\infty} \sin (1 / n) [Diverge por comparação com o limite, tome b_{n}=1 / n ]

Passo 1

O enunciado pede para estudar a convergência da série
\sum_{n=1}^{\infty}\sin\bigl(1/n\bigr)
usando comparação com a série harmônica. O conteúdo principal é o Teste da Comparação por Limites e a aproximação de \sin x quando x\to0.

Passo 2

Observamos que, para n grande, 1/n\to0. Usando a expansão de Taylor em torno de 0, temos
\sin x = x + o(x) \quad\text{quando }x\to0.
Logo, tomando x=1/n,
\sin(1/n) = \frac1n + o\bigl(\tfrac1n\bigr).
Para formalizar, calculamos o limite
\lim_{n\to\infty}\frac{\sin(1/n)}{1/n} =\lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x} =1.

Passo 3

Como a série
\sum_{n=1}^{\infty}\frac1n
é a série harmônica, que diverge, e o limite anterior é um número finito e não nulo =1, então pelo Teste da Comparação por Limites concluímos que
\sum_{n=1}^{\infty}\sin\bigl(1/n\bigr)
também diverge.

Resposta

A série diverge.

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