1. Se \sum_{n=1}^{\infty} a_{n} \operatorname{com} a_{n} \neq 0 é uma série convergente, então podemos afirmar que \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{a_{n}} é uma série divergente ?
  2. Suponha que uma série \sum a_{n} tenha termos positivos e suas somas parciais s_{n} satisfaçam a desigualdade s_{n} \leq 1000 para todo n. Explique porque \sum_{n} deve ser convergente. [Dica: Usar que toda sequência monótona limitada é convergente]

Passo 1

O enunciado apresenta duas questões sobre séries numéricas. Na questão 5, temos a série \sum_{n=1}^\infty a_n com a_n\neq0 convergente, e queremos analisar a divergência de \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{a_n}. Na questão 6, uma série de termos positivos \sum_{n=1}^\infty a_n tem soma parcial s_n\le1000 para todo n, e precisamos mostrar que ela converge usando que sequências monótonas e limitadas convergem. Para resolver, vamos usar o teste de divergência para séries (que exige a_n\to0) e a propriedade de sequências monotônicas limitadas.

Passo 2

Para a questão 5, se \sum_{n=1}^\infty a_n converge então \lim_{n\to\infty}a_n=0. Assim \lim_{n\to\infty}\frac{1}{a_n} não existe ou é infinito, ou seja, os termos \tfrac1{a_n} não tendem a zero. Pelo teste de divergência (se os termos não vão a zero, a série não pode convergir) concluímos que \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{a_n} diverge.

Passo 3

Para a questão 6, como a_n\ge0, as somas parciais
s_n=\sum_{k=1}^n a_k
formam uma sequência monótona não decrescente. Além disso, o enunciado dá s_n\le1000 para todo n, ou seja, (s_n) é limitada superiormente. Uma sequência monótona e limitada converge, logo (s_n) converge para algum limite finito L\le1000. Isso significa que a série \sum_{n=1}^\infty a_n converge para L.

Resposta

  1. A série \displaystyle \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{a_n} diverge, pois seus termos não tendem a zero.
  2. A série \displaystyle \sum_{n=1}^\infty a_n converge, pois suas somas parciais são monótonas e limitadas.

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