Encontre a solução do seguinte sistema utilizando o método iterativo de Newton-Raphson. Considere o chute inicial de x_{1}=2 e x_{2}=3 e um erro máximo de 0,01 .
x_{1}^{2}-2 x_{1}-x_{2}=3
x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=41

Passo 1

O enunciado pede resolver o sistema
\begin{cases} x_{1}^{2}-2x_{1}-x_{2}=3,\\[6pt] x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=41 \end{cases}
usando o método de Newton–Raphson para sistemas, com chute inicial (x_{1},x_{2})=(2,3) e critério de parada de erro máximo 0,01. Vamos precisar definir o vetor de funções \mathbf{F}(x), a matriz jacobiana J(x) e aplicar iterativamente
J(x^{(k)})\,\Delta x^{(k)} = -\,\mathbf{F}(x^{(k)}),
x^{(k+1)} = x^{(k)} + \Delta x^{(k)},
até \max\bigl|\Delta x^{(k)}\bigr|<0,01.]

Passo 2

Definimos
\mathbf{F}(x)= \begin{pmatrix} f_{1}(x_{1},x_{2})\\[4pt] f_{2}(x_{1},x_{2}) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_{1}^{2}-2x_{1}-x_{2}-3\\[4pt] x_{1}^{2}+x_{2}^{2}-41 \end{pmatrix},
e a jacobiana
J(x)= \begin{pmatrix} \frac{\partial f_{1}}{\partial x_{1}} & \frac{\partial f_{1}}{\partial x_{2}}\\[4pt] \frac{\partial f_{2}}{\partial x_{1}} & \frac{\partial f_{2}}{\partial x_{2}} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2x_{1}-2 & -1\\[4pt] 2x_{1} & 2x_{2} \end{pmatrix}.]

Passo 3

O método de Newton para sistemas resolve, a cada iteração k,
J\bigl(x^{(k)}\bigr)\,\Delta x^{(k)} = -\,\mathbf{F}\bigl(x^{(k)}\bigr),
e atualiza
x^{(k+1)} = x^{(k)} + \Delta x^{(k)}.
O critério de parada usado aqui é
\max\bigl|\Delta x^{(k)}\bigr|<0,01.

Passo 4

Primeiras duas iterações com detalhes:
  1. k=0, x^{(0)}=(2,3).
    \mathbf{F}(x^{(0)})=(-6,\,-28)^{T},
J(x^{(0)})=\begin{pmatrix}2 & -1\\[2pt]4 & 6\end{pmatrix}.
Resolve-se
\begin{pmatrix}2 & -1\\\ 4 & 6\end{pmatrix} \begin{pmatrix}\Delta x_{1}\\Delta x_{2}\end{pmatrix} = -\begin{pmatrix}-6\\\ -28\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}6\\\ 28\end{pmatrix}
obtendo \Delta x=(4,2)^{T} e
x^{(1)}=(6,5).
  1. k=1, x^{(1)}=(6,5).
    \mathbf{F}(x^{(1)})=(16,\,20)^{T},
    J(x^{(1)})=\begin{pmatrix}10 & -1\\\ 12 & 10\end{pmatrix}.
    Resolvendo
\begin{pmatrix}10 & -1\\\ 12 & 10\end{pmatrix} \Delta x = -\begin{pmatrix}16\\\ 20\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}-16\\\ -20\end{pmatrix}
obtém-se \Delta x\approx(-1{,}6071,\,-0{,}0714)^{T} e
x^{(2)}\approx(4{,}3929,4{,}9286).]

Passo 5

Iterações subsequentes até satisfazer o critério:
k=2 \to x^{(3)}\approx(4{,}02196,4{,}99620), \max|\Delta x|\approx0,3709
k=3 \to x^{(4)}\approx(4{,}00006,4{,}99996), \max|\Delta x|\approx0,0219
k=4 \to x^{(5)}\approx(4,\,5), \max|\Delta x|\approx5{,}7\times10^{-5}<0,01 Aqui o critério de máximo erro foi satisfeito na quinta iteração.

Resposta

A solução aproximada do sistema, dentro do erro máximo 0,01, é
(x_{1},x_{2})\approx(4,\,5).

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