Analise a convergência das seguintes séries:
c) \sum_{n=1}^{\infty} n e^{-n^{2}} \quad [Converge, teste da integral]

Passo 1

O enunciado pede para analisar a convergencia da série \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} n e^{-n^{2}}
usando o teste da integral. Vamos considerar a função \displaystyle f(x)=x e^{-x^{2}}, pois seus valores em inteiros coincidem com os termos da série.

Passo 2

Verificamos as hipóteses do teste da integral para f(x) quando x\ge1:
  1. f(x)=x e^{-x^{2}}>0.
  2. f é contínua em [1,\infty).
  3. f é decrescente para x\ge1 porque
f'(x) =\frac{d}{dx}\bigl(x e^{-x^{2}}\bigr) =e^{-x^{2}}-2x^{2}e^{-x^{2}} =e^{-x^{2}}\bigl(1-2x^{2}\bigr),
e para x\ge1 temos 1-2x^{2}\le-1<0, logo f'(x)<0.

Passo 3

Aplicamos o teste da integral, estudando
\int_{1}^{\infty} x e^{-x^{2}}\,dx.
Fazemos a substituição u=x^{2}, de modo que du=2x\,dx ou x\,dx=\tfrac{1}{2}\,du. Quando x=1, u=1; e quando x\to\infty, u\to\infty. Assim
\int_{1}^{\infty} x e^{-x^{2}}\,dx =\int_{u=1}^{\infty} e^{-u}\,\frac{du}{2} =\frac{1}{2}\int_{1}^{\infty} e^{-u}\,du =\frac{1}{2}\bigl[-e^{-u}\bigr]_{1}^{\infty} =\frac{1}{2}e^{-1}.
Esse valor é finito.

Passo 4

Como \displaystyle\int_{1}^{\infty} x e^{-x^{2}}\,dx converge, pelo teste da integral a série \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} n e^{-n^{2}}
também converge.

Resposta

A série \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} n e^{-n^{2}} converge.

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