Analise a convergência das seguintes séries:
c)
[Converge, teste da integral]
c)
Passo 1
O enunciado pede para analisar a convergencia da série
usando o teste da integral. Vamos considerar a função , pois seus valores em inteiros coincidem com os termos da série.
usando o teste da integral. Vamos considerar a função
Passo 2
Verificamos as hipóteses do teste da integral para
quando
:
-
. -
é contínua em . -
é decrescente para porque
e para
temos
, logo
.
Passo 3
Aplicamos o teste da integral, estudando
Fazemos a substituição
, de modo que
ou
. Quando
,
; e quando
,
. Assim
Esse valor é finito.
Passo 4
Como
converge, pelo teste da integral a série
também converge.
também converge.
Resposta
A série
converge.