Analise a convergência da sequência a_{n}=\frac{n!\cdot \sin \left(n^{2}\right)}{(n+1)!-n!}. Se convergir, encontre seu limite. Justifique rigorosamente sua resposta.

Passo 1

O enunciado define a sequência
a_{n}=\frac{n!\,\sin\bigl(n^{2}\bigr)}{(n+1)!-n!}
e pede que a gente analise sua convergência e, se convergir, ache o limite. Vamos precisar simplificar a expressão envolvendo fatoriais e, depois, usar o Teorema do Confronto (ou Squeeze) aproveitando que \sin(x) é limitada entre -1 e 1.

Passo 2

Calculemos o denominador:
(n+1)!-n! = n!\,(n+1) - n! = n!\,\bigl((n+1)-1\bigr)=n!\,n.

Passo 3

Substituindo no termo geral, obtemos
a_{n} =\frac{n!\,\sin\bigl(n^{2}\bigr)}{n!\,n} =\frac{\sin\bigl(n^{2}\bigr)}{n}.

Passo 4

Usamos agora que
-1\le \sin\bigl(n^{2}\bigr)\le 1
para todo n. Dividindo essa desigualdade por n>0, vem
-\frac{1}{n}\le \frac{\sin\bigl(n^{2}\bigr)}{n}\le \frac{1}{n}.
Como \displaystyle\frac{1}{n}\to 0 quando n\to\infty, pelo Teorema do Confronto segue que
\frac{\sin\bigl(n^{2}\bigr)}{n}\to 0.

Resposta

A sequência converge e seu limite é 0.

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