Investigue a convergência da série \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(2 n)!}{(n!)^{2} \cdot 4^{n}}.

Passo 1

O enunciado pede para estudar a convergência da série cujo termo geral é
a_{n} \;=\;\frac{(2n)!}{(n!)^{2}\,4^{n}}.
Este é um problema de análise de séries numéricas. Para decidir convergência, vamos testar o Critério da Razão e, depois, comparar o comportamento assintótico de a_{n} com uma série p.

Passo 2

Aplicando o Teste da Razão, calculamos
\frac{a_{n+1}}{a_{n}} =\frac{\displaystyle\frac{(2n+2)!}{((n+1)!)^{2}\,4^{\,n+1}}} {\displaystyle\frac{(2n)!}{(n!)^{2}\,4^{\,n}}} =\frac{(2n+2)(2n+1)}{4\,(n+1)^{2}} =\frac{2n+1}{2(n+1)}.
Tomando o limite quando n\to\infty,
\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_{n}} =\lim_{n\to\infty}\frac{2n+1}{2n+2}=1.
Como esse limite é igual a 1, o Teste da Razão fica inconclusivo.

Passo 3

Para ver melhor o comportamento de a_{n}, note que
a_{n} =\frac{(2n)!}{(n!)^{2}\,4^{n}} =\binom{2n}{n}\,\frac{1}{4^{n}}.
Pela aproximação de Stirling para fatoriais, sabe-se que
\binom{2n}{n}\sim \frac{4^{n}}{\sqrt{\pi\,n}} \quad\text{quando }n\to\infty.
Logo
a_{n}\sim \frac{4^{n}}{\sqrt{\pi\,n}}\;\frac{1}{4^{n}} =\frac{1}{\sqrt{\pi\,n}}.

Passo 4

Como a_{n} se comporta como \tfrac{1}{\sqrt{\pi\,n}}, podemos comparar com a série
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{n}},
que é uma p-série com p=\tfrac12 e sabemos que diverge. Pelo Teste da Comparação Limite, a série original também diverge.

Resposta

A série \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(2n)!}{(n!)^{2}\,4^{n}} diverge.

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