Investigue a convergência da série
.
Passo 1
O enunciado pede para estudar a convergência da série cujo termo geral é
Este é um problema de análise de séries numéricas. Para decidir convergência, vamos testar o Critério da Razão e, depois, comparar o comportamento assintótico de
com uma série
.
Passo 2
Aplicando o Teste da Razão, calculamos
Tomando o limite quando
,
Como esse limite é igual a
, o Teste da Razão fica inconclusivo.
Passo 3
Para ver melhor o comportamento de
, note que
Pela aproximação de Stirling para fatoriais, sabe-se que
Logo
Passo 4
Como
se comporta como
, podemos comparar com a série
que é uma
-série com
e sabemos que diverge. Pelo Teste da Comparação Limite, a série original também diverge.
Resposta
A série
diverge.