Analise a convergência da série \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sqrt{n^{4}+n^{2}+1}}{n^{3}-\ln (n)}. Especifique o teste de comparação utilizado e a série com a qual você está comparando, justificando sua escolha.

Passo 1

O enunciado pede para analisar a convergência da série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sqrt{n^{4}+n^{2}+1}}{n^{3}-\ln(n)},
usando um teste de comparação. Vamos usar o teste da comparação por limite e comparar com a série harmônica
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n},
pois à primeira vista o termo geral da série dada se comporta como 1/n quando n é grande.

Passo 2

Para ver o comportamento assintótico do termo geral
a_n = \frac{\sqrt{n^{4}+n^{2}+1}}{n^{3}-\ln(n)},
observe que para n\to\infty vale
\sqrt{n^{4}+n^{2}+1} = n^{2}\,\sqrt{1+\frac{1}{n^{2}}+\frac{1}{n^{4}}} \sim n^{2},
e também
n^{3}-\ln(n)=n^{3}\Bigl(1-\frac{\ln(n)}{n^{3}}\Bigr)\sim n^{3}.
Logo
a_n \sim \frac{n^{2}}{n^{3}}=\frac{1}{n}.

Passo 3

Aplicamos o teste da comparação por limite com
b_n = \frac{1}{n}.
Calculamos
\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n} =\lim_{n\to\infty}\frac{\sqrt{n^{4}+n^{2}+1}}{n^{3}-\ln(n)}\;\Bigl/\;\frac{1}{n} =\lim_{n\to\infty}\frac{n\,\sqrt{1+\frac{1}{n^{2}}+\frac{1}{n^{4}}}}{1-\frac{\ln(n)}{n^{3}}} =1.
Como o limite é finito e não nulo, as duas séries têm o mesmo comportamento de convergência.

Passo 4

Sabemos que
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}
é divergente (série harmônica). Pelo teste da comparação por limite, a série dada também diverge.

Resposta

A série diverge pelo teste da comparação por limite com a série harmônica \sum1/n.

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