Considere a sequência definida por
e
para
.
a) Use o princípio da indução matemática para provar que a sequência é monotônica crescente e limitada superiormente por 3 .
b) Sabendo que a sequência converge, calcule o seu limite.
a) Use o princípio da indução matemática para provar que a sequência é monotônica crescente e limitada superiormente por 3 .
b) Sabendo que a sequência converge, calcule o seu limite.
Passo 1
O enunciado define a sequência
e pede:
- usar indução para mostrar que
é crescente e tem como limitante superior; - supondo convergência, achar o seu limite.
Passo 2
Prova por indução de que
é crescente, ou seja,
para todo
.
Base ( ):
Base (
pois ao elevar ao quadrado fica
.
Passo indutivo: suponha . Como a função
é estritamente crescente em
, temos
Passo indutivo: suponha
Logo por indução
é crescente.
Passo 3
Prova por indução de que
para todo
.
Base ( ):
Base (
Passo indutivo: suponha
. Então
E como
(pois
), segue
. Logo por indução
para todo
.
Passo 4
Como
é crescente e limitada superiormente, ela converge. Seja
Tomando limite na relação de recorrência
, vem
As raízes são
Como
e a sequência é crescente a partir de
, o limite deve ser a raiz positiva
Resposta
O limite da sequência é