Considere a sequência definida por a_{1}=\sqrt{3} e a_{n+1}=\sqrt{3+a_{n}} para n \geq 1.
a) Use o princípio da indução matemática para provar que a sequência é monotônica crescente e limitada superiormente por 3 .
b) Sabendo que a sequência converge, calcule o seu limite.

Passo 1

O enunciado define a sequência
a_{1} = \sqrt{3}, \quad a_{n+1} = \sqrt{3 + a_{n}}\quad(n\ge1),
e pede:
  1. usar indução para mostrar que \{a_{n}\} é crescente e tem 3 como limitante superior;
  2. supondo convergência, achar o seu limite.

Passo 2

Prova por indução de que \{a_{n}\} é crescente, ou seja, a_{n+1}>a_{n} para todo n\ge1.
Base ( n=1):
a_{2} = \sqrt{3 + a_{1}} = \sqrt{3 + \sqrt{3}}>\sqrt{3}=a_{1},
pois ao elevar ao quadrado fica 3+\sqrt{3}>3.
Passo indutivo: suponha a_{k}>a_{k-1}. Como a função x\mapsto\sqrt{3+x} é estritamente crescente em \mathbb{R}, temos
a_{k+1} = \sqrt{3 + a_{k}} > \sqrt{3 + a_{k-1}} = a_{k}.
Logo por indução \{a_{n}\} é crescente.

Passo 3

Prova por indução de que a_{n}<3 para todo n.
Base ( n=1):
a_{1}=\sqrt{3}<3.
Passo indutivo: suponha a_{n}<3. Então
a_{n+1} = \sqrt{3 + a_{n}} < \sqrt{3 + 3} = \sqrt{6}.
E como \sqrt{6}<3 (pois 6<9), segue a_{n+1}<3. Logo por indução a_{n}<3 para todo n.

Passo 4

Como \{a_{n}\} é crescente e limitada superiormente, ela converge. Seja
L = \lim_{n\to\infty} a_{n}.
Tomando limite na relação de recorrência a_{n+1}=\sqrt{3+a_{n}}, vem
L = \sqrt{3 + L} \quad\Longrightarrow\quad L^{2} = 3 + L \quad\Longrightarrow\quad L^{2} - L - 3 = 0.
As raízes são
L = \frac{1 \pm \sqrt{1+12}}{2} = \frac{1\pm\sqrt{13}}{2}.
Como a_{n}>0 e a sequência é crescente a partir de \sqrt{3}>0, o limite deve ser a raiz positiva
L = \frac{1 + \sqrt{13}}{2}.

Resposta

O limite da sequência é
\lim_{n\to\infty}a_{n} = \frac{1 + \sqrt{13}}{2}.

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