Um sistema massa-mola-amortecedor é modelado pela equação
e
.
a) Encontre a posição
da massa em qualquer instante
.
b) A solução representa um movimento subamortecido. Determine a "quasefrequência"do sistema e o tempo
em que a massa atinge sua primeira posição de deslocamento máximo.
a) Encontre a posição
b) A solução representa um movimento subamortecido. Determine a "quasefrequência"do sistema e o tempo
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial linear homogênea de segunda ordem com amortecimento
sujeita às condições iniciais
e
.
O conteúdo é solução de EDO com coeficientes constantes e, em particular, parte real negativa das raízes indica amortecimento subcrítico (subamortecido).
O conteúdo é solução de EDO com coeficientes constantes e, em particular, parte real negativa das raízes indica amortecimento subcrítico (subamortecido).
Passo 2
Formamos a equação característica
e calculamos suas raízes:
Como as raízes são complexas conjugadas
, a solução geral é
Passo 3
Agora impomos as condições iniciais. Primeiro
Em seguida calculamos
Em
isso vira
Como
, obtemos
, logo
. Portanto
Passo 4
Para ver que é subamortecido, note que o termo de amortecimento
satisfaz
. A “quase-frequência” (ou frequência amortecida) é a parte imaginária das raízes, isto é
Passo 5
O primeiro pico de deslocamento ocorre quando
e se troca de sinal de positivo para negativo. Da expressão de
fica (agrupando)
A menor solução positiva é
Resposta
a)
b) Quase-frequência e o primeiro máximo em
b) Quase-frequência