Um sistema massa-mola-amortecedor é modelado pela equação y^{\prime \prime}+2 y^{\prime}+10 y= 0, \operatorname{com} y(0)=0 e y^{\prime}(0)=6.
a) Encontre a posição y(t) da massa em qualquer instante t.
b) A solução representa um movimento subamortecido. Determine a "quasefrequência"do sistema e o tempo t>0 em que a massa atinge sua primeira posição de deslocamento máximo.

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial linear homogênea de segunda ordem com amortecimento
y'' + 2y' + 10y = 0,
sujeita às condições iniciais y(0)=0 e y'(0)=6.
O conteúdo é solução de EDO com coeficientes constantes e, em particular, parte real negativa das raízes indica amortecimento subcrítico (subamortecido).

Passo 2

Formamos a equação característica
r^2 + 2r + 10 = 0
e calculamos suas raízes:
r = \frac{-2 \pm \sqrt{2^2 - 4\cdot1\cdot10}}{2} = \frac{-2 \pm \sqrt{-36}}{2} = -1 \pm 3\,\mathrm i.
Como as raízes são complexas conjugadas -1\pm3\mathrm i, a solução geral é
y(t) = e^{-t}\bigl(C_1\cos(3t) + C_2\sin(3t)\bigr).

Passo 3

Agora impomos as condições iniciais. Primeiro
y(0)=0 \quad\Longrightarrow\quad e^0\bigl(C_1\cdot1 + C_2\cdot0\bigr)=0 \quad\Longrightarrow\quad C_1=0.
Em seguida calculamos
y'(t) = e^{-t}\bigl(-C_1\cos(3t)-C_2\sin(3t)\bigr) + e^{-t}\bigl(-3C_1\sin(3t)+3C_2\cos(3t)\bigr).
Em t=0 isso vira
y'(0) = -C_1 + 3C_2 = 6.
Como C_1=0, obtemos 3C_2=6, logo C_2=2. Portanto
\boxed{y(t) = 2\,e^{-t}\sin(3t).}

Passo 4

Para ver que é subamortecido, note que o termo de amortecimento 2 satisfaz 2^2 < 4 \cdot 1 \cdot 10. A “quase-frequência” (ou frequência amortecida) é a parte imaginária das raízes, isto é
\boxed{\omega_d = 3\text{ rad/s}.}

Passo 5

O primeiro pico de deslocamento ocorre quando y'(t)=0 e se troca de sinal de positivo para negativo. Da expressão de y'(t) fica (agrupando)
y'(t)=2e^{-t}\bigl(3\cos(3t)-\sin(3t)\bigr)=0 \quad\Longrightarrow\quad 3\cos(3t)-\sin(3t)=0 \quad\Longrightarrow\quad \tan(3t)=3.
A menor solução positiva é
3t = \arctan(3) \quad\Longrightarrow\quad \boxed{t_1 = \frac{1}{3}\arctan(3)\approx0,416\text{ s}.}

Resposta

a) \displaystyle y(t) = 2 e^{-t} \sin(3t).
b) Quase-frequência \omega_d = 3\text{ rad/s} e o primeiro máximo em
\displaystyle t = \frac{1}{3} \arctan(3) \approx 0,416\text{ s}.

Exercícios relacionados