Analise a convergência da série abaixo. Determine se converge ou diverge, justificando com cálculo explícito:
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n+1}{n}

Passo 1

O enunciado pede para estudar a convergência da série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n+1}{n}.
O conteúdo que vamos usar é o teste do termo geral: se \lim_{n\to\infty}a_n\neq0, a série \sum a_n diverge.

Passo 2

Vamos calcular o termo geral
a_n = \frac{n+1}{n} = 1 + \frac{1}{n}.
Logo,
\lim_{n\to\infty}a_n = \lim_{n\to\infty}\Bigl(1 + \tfrac{1}{n}\Bigr) = 1 \neq 0.

Passo 3

Como o limite do termo geral não é zero, a série não pode convergir pelo teste do termo geral.

Resposta

A série diverge, pois \lim_{n\to\infty}\tfrac{n+1}{n}=1\neq0.

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