Considere a sequência definida por a_{1}=1 e a_{n+1}=\frac{a_{n}^{2}+3}{2 a_{n}} para n \geq 1. Sabendo que \left\{a_{n}\right\} converge, determine o valor do limite.

Passo 1

O enunciado define a sequência \{a_n\} por
a_{1} = 1, \quad a_{n+1} = \frac{a_n^2 + 3}{2\,a_n}, \quad n\ge1,
e afirma que \{a_n\} converge. Nosso objetivo é encontrar o limite \displaystyle L = \lim_{n\to\infty}a_n.

Passo 2

Se \{a_n\} converge para algum L, ao fazer n\to\infty na relação de recorrência temos
L = \frac{L^2 + 3}{2\,L}.
Multiplicando ambos os lados por 2L,
2L^2 = L^2 + 3 \quad\Longrightarrow\quad L^2 = 3 \quad\Longrightarrow\quad L = \pm\sqrt{3}.

Passo 3

Observamos que a_1=1>0 e, por recorrência, toda razão \frac{a_n^2+3}{2a_n} é positiva. Logo, a_n>0 para todo n e o limite deve ser o valor positivo:
L = \sqrt{3}.

Resposta

\displaystyle \sqrt{3}

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