Calcule o volume do sólido gerado pela rotação da região limitada por y=e^{-x}, y=0, x=0 e x=1 em torno do eixo y, usando o método das cascas cilíndricas.

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido obtido ao girar em torno do eixo y a região em que
0 \le x \le 1,\quad 0 \le y \le e^{-x}.
O conteúdo é o método das cascas cilíndricas: vamos dividir a região em fatias verticais de espessura dx, cada uma gerando uma casca cilíndrica ao rodar.

Passo 2

Em cada fatia em abscissa x, a casca cilíndrica tem raio igual a x, altura dada por
\text{altura} = e^{-x} - 0 = e^{-x},
e espessura dx. A área lateral de uma casca é
2\pi\;(\text{raio})\;(\text{altura}) = 2\pi\,x\,e^{-x}.
Logo, o volume total é
V \;=\; \int_{x=0}^{1} 2\pi\,x\,e^{-x}\,dx.

Passo 3

Para calcular
\int_{0}^{1} x\,e^{-x}\,dx
usamos integração por partes. Escolhemos
u = x,\quad dv = e^{-x}\,dx \quad\Longrightarrow\quad du = dx,\quad v = -e^{-x}.
Assim
\int x\,e^{-x}\,dx = u\,v - \int v\,du = -x\,e^{-x} - \int\bigl(-e^{-x}\bigr)\,dx = -x\,e^{-x} + \int e^{-x}\,dx = -x\,e^{-x} - e^{-x} + C = -e^{-x}(x+1) + C.

Passo 4

Substituindo nos limites de 0 a 1:
\int_{0}^{1} x\,e^{-x}\,dx = \bigl[-e^{-x}(x+1)\bigr]_{0}^{1} = \bigl(-e^{-1}\cdot2\bigr) - \bigl(-e^{0}\cdot1\bigr) = -\tfrac{2}{e} + 1.
Portanto
V = 2\pi \int_{0}^{1} x\,e^{-x}\,dx = 2\pi\Bigl(1 - \tfrac{2}{e}\Bigr).

Resposta

V = 2\pi\Bigl(1 - \tfrac{2}{e}\Bigr).

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