Analise a convergência da série abaixo:
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{3 n+2}{n^{2}+5}

Passo 1

O enunciado pede para analisar a convergência da série de termos positivos
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{3n+2}{n^{2}+5}.
O conteúdo envolvido é estudo de séries numéricas de termos positivos e, em particular, uso do teste de comparação ou do teste da comparação limite com uma série conhecida (a série harmônica, que diverge).

Passo 2

Para entender o comportamento de \displaystyle a_{n}=\frac{3n+2}{n^{2}+5} quando n é grande, observamos que o termo de maior grau no numerador é 3n e, no denominador, é n^{2}. Assim
a_{n}\sim \frac{3n}{n^{2}}=\frac{3}{n}.
Isso sugere comparar com a série harmônica \sum 1/n, que sabemos divergir.

Passo 3

Aplicamos o teste da comparação limite com b_{n}=1/n. Calculamos
\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n}}{b_{n}} =\lim_{n\to\infty}\frac{\frac{3n+2}{n^{2}+5}}{\frac{1}{n}} =\lim_{n\to\infty}\frac{(3n+2)\,n}{n^{2}+5} =\lim_{n\to\infty}\frac{3n^{2}+2n}{n^{2}+5} =3.
Como esse limite é um número finito e estritamente positivo, o comportamento de \sum a_{n} é o mesmo de \sum b_{n}.

Passo 4

Como \sum_{n=1}^{\infty}1/n é divergente, pela comparação-limite concluímos que
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{3n+2}{n^{2}+5}
também diverge.

Resposta

A série diverge.

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