Resolva o seguinte problema de Cauchy:
y^{\prime}=2 y-1, y(1)=3.

Passo 1

O enunciado dá o problema de Cauchy
y'=2\,y-1,\quad y(1)=3
que é uma equação diferencial linear de primeira ordem. Para resolver, vamos colocá-la na forma padrão
y'-2\,y=-1
e usar o fator integrante.

Passo 2

Identificamos p(x)=-2 e q(x)=-1. O fator integrante é
\mu(x)=e^{\int p(x)\,dx}=e^{\int -2\,dx}=e^{-2x}.

Passo 3

Multiplicamos a equação original por \mu(x):
e^{-2x}y' -2e^{-2x}y = -e^{-2x}.
O lado esquerdo é a derivada do produto y\,e^{-2x}, logo
\frac{d}{dx}\bigl(y\,e^{-2x}\bigr)=-e^{-2x}.

Passo 4

Integramos ambos os lados em relação a x:
y\,e^{-2x}=\int -e^{-2x}\,dx = \tfrac12\,e^{-2x}+C.

Passo 5

Isolando y, obtemos
y=\tfrac12 + C\,e^{2x}.
Aplicamos a condição inicial y(1)=3:
3=\tfrac12 + C\,e^{2}\quad\Longrightarrow\quad C=e^{-2}\,\frac{5}{2}.
Substituindo C de volta:
y(x)=\tfrac12 + \frac{5}{2}\,e^{-2}\,e^{2x} = \tfrac12 + \frac{5}{2}\,e^{2(x-1)}.

Resposta

y(x)=\frac12 + \frac{5}{2}\,e^{2(x-1)}.

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