Calcule a área exata da região delimitada pelas curvas y=\mathrm{e}^{x} e y=\mathrm{e}^{-x} para x entre 0 e 1.

Passo 1

O enunciado pede a área da região no plano limitada pelas curvas y=\mathrm{e}^{x} e y=\mathrm{e}^{-x} para 0\le x\le1. O conteúdo aqui é cálculo de área entre curvas no eixo x, que se faz via integral definida da diferença entre a função superior e a inferior.

Passo 2

Precisamos identificar qual curva está acima da outra em [0,1]. Para x\ge0 vale
\mathrm{e}^{x}\ge\mathrm{e}^{0}=1 \quad\text{e}\quad \mathrm{e}^{-x}\le\mathrm{e}^{0}=1,
logo em todo o intervalo \mathrm{e}^{x}\ge\mathrm{e}^{-x}. Assim a área procurada é
\int_{0}^{1}\bigl(\mathrm{e}^{x}-\mathrm{e}^{-x}\bigr)\,dx.

Passo 3

Calculemos a integral
\int\bigl(\mathrm{e}^{x}-\mathrm{e}^{-x}\bigr)\,dx =\int\mathrm{e}^{x}\,dx-\int\mathrm{e}^{-x}\,dx =\mathrm{e}^{x}-\bigl(-\mathrm{e}^{-x}\bigr) =\mathrm{e}^{x}+\mathrm{e}^{-x}+C.

Passo 4

Agora aplicamos os limites de 0 a 1:
\int_{0}^{1}\bigl(\mathrm{e}^{x}-\mathrm{e}^{-x}\bigr)\,dx =\bigl[\mathrm{e}^{x}+\mathrm{e}^{-x}\bigr]_{0}^{1} =\bigl(\mathrm{e}^{1}+\mathrm{e}^{-1}\bigr)-\bigl(\mathrm{e}^{0}+\mathrm{e}^{0}\bigr) =\mathrm{e}+\frac{1}{\mathrm{e}}-2.

Resposta

A área exata da região é
\mathrm{e}+\frac{1}{\mathrm{e}}-2.

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