Calcule o volume do sólido gerado pela rotação da região limitada por y=e^{-x}, y=0, x=0 e x=1 em torno do eixo y, usando o método dos discos/anéis.

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido obtido ao girar em torno do eixo y a região limitada por \;y=e^{-x},\;y=0,\;x=0 e x=1.
O conteúdo é “volume de revolução” e o método a usar é o de discos (anéis), o que exige integrar área de secções transversais em função de y.

Passo 2

Para usar discos em torno de y precisamos do raio externo R(y) que, para cada y, é a abscissa x da curva. Invertendo
y = e^{-x}
vem
x = -\ln(y).

Passo 3

A região no plano se descreve em dois trechos em função de y:
  1. Para 0 \le y \le e^{-1}, a curva x=-\ln(y) fica à direita de x=1, mas o limite é x=1. Logo o raio é R(y)=1.
  2. Para e^{-1} \le y \le 1, temos 0 \le x \le -\ln(y), de modo que R(y)=-\ln(y).

Passo 4

O volume é a soma de dois volumes por anel:
V=\pi\int_{0}^{e^{-1}}[1]^2\,dy \;+\;\pi\int_{e^{-1}}^{1}[-\ln(y)]^2\,dy.

Passo 5

Calculemos cada parcela:
V_1=\pi\int_{0}^{e^{-1}}1\,dy =\pi\bigl[y\bigr]_{0}^{e^{-1}} =\pi e^{-1}.
Para
V_2=\pi\int_{e^{-1}}^{1}(-\ln y)^2\,dy
faca-se a troca t=-\ln y, dy=-e^{-t}dt, que transforma os limites y=e^{-1}\mapsto t=1 e y=1\mapsto t=0. Assim
\int_{e^{-1}}^{1}(-\ln y)^2\,dy =\int_{1}^{0}t^2(-e^{-t})\,dt =\int_{0}^{1}t^2e^{-t}\,dt =2-5e^{-1}.
Portanto
V_2=\pi\,(2-5e^{-1}).
Somando,
V=V_1+V_2 =\pi e^{-1}+\pi(2-5e^{-1}) =\pi(2-4e^{-1}).

Resposta

V=\pi\bigl(2-4e^{-1}\bigr) \quad\text{ou}\quad V=2\pi-4\pi e^{-1}.

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