Calcule o volume do sólido gerado pela rotação da região limitada por
,
e
em torno do eixo
, usando o método dos discos/anéis.
Passo 1
O enunciado pede o volume do sólido obtido ao girar em torno do eixo
a região limitada por
e
.
O conteúdo é “volume de revolução” e o método a usar é o de discos (anéis), o que exige integrar área de secções transversais em função de .
O conteúdo é “volume de revolução” e o método a usar é o de discos (anéis), o que exige integrar área de secções transversais em função de
Passo 2
Para usar discos em torno de
precisamos do raio externo
que, para cada
, é a abscissa
da curva. Invertendo
vem
Passo 3
A região no plano se descreve em dois trechos em função de
:
- Para
, a curva fica à direita de , mas o limite é . Logo o raio é . - Para
, temos , de modo que .
Passo 4
O volume é a soma de dois volumes por anel:
Passo 5
Calculemos cada parcela:
Para
faca-se a troca
,
, que transforma os limites
e
. Assim
Portanto
Somando,