Forneça um exemplo de uma série \sum a_{n} e uma série \sum b_{n} tais que ambas divergem, mas a série \sum\left(a_{n}-b_{n}\right) converge absolutamente. Justifique sua escolha.

Passo 1

O enunciado pede duas séries \sum a_n e \sum b_n que sejam ambas divergentes, mas cuja série das diferenças \sum\bigl(a_n - b_n\bigr) seja absolutamente convergente. Vamos usar séries p- com p=1 (que diverge) e p=2 (que converge).

Passo 2

Escolhemos
a_n = \frac{1}{n} + \frac{1}{n^2}, \quad b_n = \frac{1}{n}.
Então
\sum_{n=1}^\infty a_n = \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n} + \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2},
e como \sum 1/n é a p-série com p=1, ela diverge. A soma \sum1/n^2 converge, mas a parcela divergente de \sum1/n é suficiente para que \sum a_n diverge. De modo similar,
\sum_{n=1}^\infty b_n = \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n}
também diverge por ser p-série com p=1.

Passo 3

Agora observe a diferença
a_n - b_n = \Bigl(\frac{1}{n} + \frac{1}{n^2}\Bigr) - \frac{1}{n} = \frac{1}{n^2}.
Logo
\sum_{n=1}^\infty \bigl(a_n - b_n\bigr) = \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2},
que é absolutamente convergente pois é uma p-série com p=2>1.

Resposta

a_n = \dfrac{1}{n} + \dfrac{1}{n^2} e b_n = \dfrac{1}{n}.

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