Analise a convergência das séries abaixo:
sumn=1^infty 2n^2-1

Passo 1

Beleza, vamos analisar se a série sumn=1^infty 2n^2-1 converge. Essa é uma questão de convergência de séries, um tópico de cálculo que estuda se a soma infinita de termos se aproxima de um valor finito. Para resolver isso, vamos precisar usar fatoração e decomposição em frações parciais para simplificar os termos da série.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar o termo geral da série, que é 2n^2-1. Notamos que n^2 - 1 pode ser fatorado como uma diferença de quadrados:
n^2 - 1 = (n - 1)(n + 1)
Então, o termo geral fica:
2n^2-1 = 2(n - 1)(n + 1)

Passo 3

Agora, vamos decompor 2(n - 1)(n + 1) em frações parciais. Isso significa que queremos escrever essa fração como a soma de duas frações mais simples. Vamos supor que:
2(n - 1)(n + 1) = An - 1 + Bn + 1
Para encontrar os valores de A e B, multiplicamos ambos os lados por (n - 1)(n + 1):
2 = A(n + 1) + B(n - 1)
Expandindo:
2 = An + A + Bn - B
Agrupando os termos semelhantes:
2 = (A + B)n + (A - B)
Para que essa igualdade seja válida para todo n, os coeficientes dos termos correspondentes devem ser iguais:
A + B = 0 e A - B = 2
Resolvendo o sistema de equações:
  1. A + B = 0 Rightarrow A = -B
  2. Substituindo A = -B na segunda equação:
-B - B = 2 Rightarrow -2B = 2 Rightarrow B = -1
  1. Então, A = -B = 1
Portanto, a decomposição fica:
2(n - 1)(n + 1) = 1n - 1 - 1n + 1

Passo 4

Agora, vamos reescrever a série original usando essa decomposição:
sumn=1^infty 2n^2-1 = sumn=1^infty ( 1n - 1 - 1n + 1 )
Essa é uma série telescópica, o que significa que muitos termos se cancelam quando somamos os primeiros termos.

Passo 5

Vamos somar os primeiros termos para ver o que acontece:
S &= ( 10 - 12 ) + ( 11 - 13 ) + ( 12 - 14 ) + ( 13 - 15 ) + dots
Observamos que muitos termos se cancelam:
S = 10 + 11 - 12 + 12 - 13 + 13 - 14 + dots
Note que 10 não está definido, o que indica que inicialmente a série parece divergir. Porém, isso ocorre porque o termo n=1 está causando uma divisão por zero. Para corrigir isso, começamos a série a partir de n=2:
sumn=2^infty 2n^2-1 = sumn=2^infty ( 1n - 1 - 1n + 1 )
Agora, somando os primeiros termos:
S = (1 - 13) + (12 - 14) + (13 - 15) + dots
Os termos 13, 14, 15, dots se cancelam, restando apenas:
S = 1 + 12

Resposta

A série sumn=2^infty 2n^2-1 converge e soma 1 + 12 = 32.

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