Analise a convergência das séries abaixo:
Passo 1
Beleza, vamos analisar se a série
converge. Essa é uma questão de convergência de séries, um tópico de cálculo que estuda se a soma infinita de termos se aproxima de um valor finito. Para resolver isso, vamos precisar usar fatoração e decomposição em frações parciais para simplificar os termos da série.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar o termo geral da série, que é
. Notamos que
pode ser fatorado como uma diferença de quadrados:
Então, o termo geral fica:
Passo 3
Agora, vamos decompor
em frações parciais. Isso significa que queremos escrever essa fração como a soma de duas frações mais simples. Vamos supor que:
Para encontrar os valores de
e
, multiplicamos ambos os lados por
:
Expandindo:
Agrupando os termos semelhantes:
Para que essa igualdade seja válida para todo
, os coeficientes dos termos correspondentes devem ser iguais:
Resolvendo o sistema de equações:
-
- Substituindo
na segunda equação:
- Então,
Portanto, a decomposição fica:
Passo 4
Agora, vamos reescrever a série original usando essa decomposição:
Essa é uma série telescópica, o que significa que muitos termos se cancelam quando somamos os primeiros termos.
Passo 5
Vamos somar os primeiros termos para ver o que acontece:
Observamos que muitos termos se cancelam:
Note que
não está definido, o que indica que inicialmente a série parece divergir. Porém, isso ocorre porque o termo
está causando uma divisão por zero. Para corrigir isso, começamos a série a partir de
:
Agora, somando os primeiros termos:
Os termos
se cancelam, restando apenas:
Resposta
A série
converge e soma
.