Determine se cada uma das sequências é convergente ou divergente. Se ela for convergente, encontre o limite.
an=n e^-n

Passo 1

O enunciado pede para decidir se a sequência
an = n e^-n
é convergente ou divergente e, em caso afirmativo, encontrar o limite. O conteúdo aqui envolve comparação de crescimento entre um fator polinomial ( n) e um fator exponencial ( e^n), sabendo que exponenciais crescem muito mais rápido que polinômios.

Passo 2

Para facilitar, reescrevemos
an = n e^-n = ne^n
Como n é inteiro e tende a infty, podemos estender this análise à função real
f(x) = xe^x,
e estudar limxtoinftyf(x). Se esse limite for L, então necessariamente limntoinftyan = L.

Passo 3

Aplicamos o Teorema de l’Hôpital ao limite contínuo
limxtoinftyxe^x
Derivando numerador e denominador temos
ddx(x)=1 e ddx(e^x)=e^x. Então
limxtoinftyxe^x =limxtoinfty1e^x =0

Passo 4

Como limxtoinftyx/e^x=0, segue que
limntoinftyan=0. Logo a sequência converge.

Resposta

A sequência é convergente e
limntoinftyan = 0

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