Determine se cada uma das sequências é convergente ou divergente. Se ela for convergente, encontre o limite.
Passo 1
O enunciado pede para decidir se a sequência
é convergente ou divergente e, em caso afirmativo, encontrar o limite. O conteúdo aqui envolve comparação de crescimento entre um fator polinomial (
) e um fator exponencial (
), sabendo que exponenciais crescem muito mais rápido que polinômios.
Passo 2
Para facilitar, reescrevemos
Como
é inteiro e tende a
, podemos estender this análise à função real
e estudar
. Se esse limite for
, então necessariamente
.
Passo 3
Aplicamos o Teorema de l’Hôpital ao limite contínuo
Derivando numerador e denominador temos
e
. Então
Passo 4
Como
, segue que
. Logo a sequência converge.
Resposta
A sequência é convergente e