Analise a convergência das séries abaixo:
sumn=1^infty n+5raiz[3]n^3+n^2

Passo 1

O enunciado pede para analisar a convergência da série
sumn=1^infty n+5raiz[3]n^3+n^2
O conteúdo aqui é séries numéricas e, em particular, o teste do termo geral (ou teste da divergência), que diz que se o termo geral an não tende a zero, a série necessariamente diverge.

Passo 2

Vamos estudar o comportamento de
an = n+5raiz[3]n^3+n^2
Factorizando n no numerador e no denominador temos
an = nl(1 + 5nr)l(n^3(1 + tfrac1n)r)^1/3 = nl(1 + tfrac5nr)n,(1 + tfrac1n)^1/3 = 1 + tfrac5n(1 + tfrac1n)^1/3
Agora basta tomar o limite quando ntoinfty:
limntoinftyan = 1 + 0(1 + 0)^1/3 = 1

Passo 3

Pelo teste do termo geral, se
limntoinftyan neq 0,
então a série
sum an
não pode convergir. Aqui encontramos
limntoinftyan = 1 neq 0,
logo a série diverge.

Resposta

A série sumn=1^infty n+5raiz[3]n^3+n^2 diverge.

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