Calcule cada integral a seguir:
integral0^infty x sen x d x(x^2+1)^2.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral imprópria
integral0^inftyxsin x(x^2+1)^2,dx
O conteúdo principal aqui é o uso de integrais conhecidas do tipo
integral0^inftyxsin(bx)x^2+a^2,dx
e a técnica de diferenciar em relação a parâmetro para elevar o grau do denominador.

Passo 2

Primeiro, definimos a função parâtrica
I(a)=integral0^inftyxsin xx^2+a^2,dx
com a>0. É conhecida a integral
integral0^inftyxsin(bx)x^2+a^2,dx=pi2e^-a b,
para b>0. No nosso caso tomamos b=1, logo
I(a)=pi2e^-a

Passo 3

Agora queremos
integral0^inftyxsin x(x^2+a^2)^2,dx
Para isso, diferenciamos I(a) em relação a a. De um lado,
dIda =ddaintegral0^inftyxsin xx^2+a^2,dx =integral0^inftyxsin x;partialpartial al(1x^2+a^2r),dx =-2aintegral0^inftyxsin x(x^2+a^2)^2,dx

Passo 4

Por outro lado, derivando a expressão fechada de I(a), temos
dIda =ddal(pi2e^-ar) =-pi2e^-a
Igualando as duas expressões para dfracdIda, obtemos
-2aintegral0^inftyxsin x(x^2+a^2)^2,dx =-pi2e^-a,
logo
integral0^inftyxsin x(x^2+a^2)^2,dx =pi4ae^-a

Passo 5

Basta agora tomar a=1:
integral0^inftyxsin x(x^2+1)^2,dx =pi4cdot1e^-1 =pi4e

Resposta

pi4e

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