Usando o teste da integral encontre os valores de
para os quais as séries abaixo são convergentes:
Passo 1
O enunciado pede para encontrar os valores de
tais que a série
seja convergente, usando o teste da integral. Para isso, recordamos que, se
é positiva, contínua e decrescente em
, então
converge se e somente se
converge.
Passo 2
Definimos
Para
e
real,
. Quando
, o fator
faz
decrescer para
grande. Assim podemos aplicar o teste da integral.
Passo 3
Escrevemos a integral imprópria correspondente:
Passo 4
Fazemos a substituição
Quando
,
; quando
,
. Logo
Sabemos que
converge se, e somente se,
k+1<0 .
Passo 5
A condição
k+1<0 equivale a
Resposta
A série
sumn=2^inftynl(1+n^2r)^k converge se, e somente se,