Usando o teste da integral encontre os valores de k para os quais as séries abaixo são convergentes:
sumn=2^infty n(1+n^2)^k

Passo 1

O enunciado pede para encontrar os valores de k tais que a série
sumn=2^inftynl(1+n^2r)^k
seja convergente, usando o teste da integral. Para isso, recordamos que, se f(x) é positiva, contínua e decrescente em [2,infty), então
sumn=2^inftyf(n)
converge se e somente se
integral2^inftyf(x),dx
converge.

Passo 2

Definimos
f(x)=xl(1+x^2r)^k
Para x>=2 e k real, f(x)>0. Quando k<0, o fator l(1+x^2r)^k faz f decrescer para x grande. Assim podemos aplicar o teste da integral.

Passo 3

Escrevemos a integral imprópria correspondente:
integral2^inftyxl(1+x^2r)^k,dx

Passo 4

Fazemos a substituição
t=1+x^2, dt=2x,dxLongrightarrow x,dx=tfrac12,dt
Quando x=2, t=1+2^2=5; quando xtoinfty, ttoinfty. Logo
integral2^inftyxl(1+x^2r)^k,dx =tfrac12integral5^inftyt^k,dt
Sabemos que
integral5^inftyt^k,dt =limbtoinftyt^k+1k+1|5^b
converge se, e somente se, k+1<0.

Passo 5

A condição k+1<0 equivale a
k<-1

Resposta

A série sumn=2^inftynl(1+n^2r)^k converge se, e somente se,
k<-1

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