Verifique se as afirmações abaixo são verdadeiras:
Se
é convergente, então
também será
Se
Passo 1
O enunciado pergunta se da convergência de
segue-se necessariamente a convergência de
O conteúdo envolvido é teoria de séries numéricas, em particular a diferença entre convergência condicional e absoluta.
Passo 2
Lembramos que:
- Se
converge absolutamente (isto é, converge), então para qualquer temos a partir de certo ponto, logo e por comparação converge. - Porém, quando
converge apenas condicionalmente, não há garantia sobre .
Passo 3
Para mostrar que a afirmação é falsa, damos o seguinte contraexemplo:
Defina
Defina
Passo 4
Verificamos a convergência de
pelo Critério da Série Alternante de Leibniz:
- A sequência
é decrescente para grande e tende a zero.n - Logo
converge condicionalmente.sumn=1^infty(-1)^n/raizn
Passo 5
Agora consideramos
Mas
sumn=1^infty1/n é a série harmônica, que diverge.
Resposta
A afirmação é falsa.