Verifique se as afirmações abaixo são verdadeiras:
Se sumn=0^infty an é convergente, então sumn=0^infty an^2 também será

Passo 1

O enunciado pergunta se da convergência de
sumn=0^inftyan
segue-se necessariamente a convergência de
sumn=0^inftyan^2
O conteúdo envolvido é teoria de séries numéricas, em particular a diferença entre convergência condicional e absoluta.

Passo 2

Lembramos que:
  1. Se sum an converge absolutamente (isto é, sum|an| converge), então para qualquer n temos |an|<1 a partir de certo ponto, logo an^2<= |an| e por comparação sum an^2 converge.
  2. Porém, quando sum an converge apenas condicionalmente, não há garantia sobre sum an^2.

Passo 3

Para mostrar que a afirmação é falsa, damos o seguinte contraexemplo:
Defina
an = (-1)^nraizn(n>=1)

Passo 4

Verificamos a convergência de sum an pelo Critério da Série Alternante de Leibniz:
  • A sequência l|anr| = 1/raizn é decrescente para n grande e tende a zero.
  • Logo sumn=1^infty(-1)^n/raizn converge condicionalmente.

Passo 5

Agora consideramos
sumn=1^inftyan^2 =sumn=1^infty1n
Mas sumn=1^infty1/n é a série harmônica, que diverge.

Resposta

A afirmação é falsa.

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