Determinar a equação da curva que passa pelo ponto
sabendo que o declive da tangente num ponto qualquer é igual a
.
Passo 1
Resumo do enunciado: precisamos encontrar a curva cuja derivada é dada por
e que passa pelo ponto
. O tema é equações diferenciais de variáveis separáveis e vamos usar integração para resolver.
Passo 2
Isolamento e separação de variáveis: a ideia é agrupar todos os termos com
de um lado e todos os termos com
do outro. Começamos com
. Multiplicando ambos os lados por
obtemos a forma separável:
Passo 3
Integração de ambos os lados: aplicamos a integral indefinida em cada membro. Do lado esquerdo,
. Do lado direito,
. Podemos juntar as constantes em uma só, chamando de
.
Expressão da solução geral: igualando as integrais e combinando constantes, temos
Expressão da solução geral: igualando as integrais e combinando constantes, temos
Passo 4
Determinação da constante com a condição inicial: substituímos
e
em
. Assim,
Passo 5
Equação final da curva: colocando
, obtemos a equação implícita da curva.
Como o ponto dado está no primeiro quadrante (com ), se quisermos a expressão explícita podemos isolar
:
Como o ponto dado está no primeiro quadrante (com
Resposta
x^2 + y^2 = 25