Determinar a equação da curva que passa pelo ponto (3,4) sabendo que o declive da tangente num ponto qualquer é igual a -xy.

Passo 1

Resumo do enunciado: precisamos encontrar a curva cuja derivada é dada por dydx = -xy e que passa pelo ponto (3,4). O tema é equações diferenciais de variáveis separáveis e vamos usar integração para resolver.

Passo 2

Isolamento e separação de variáveis: a ideia é agrupar todos os termos com y de um lado e todos os termos com x do outro. Começamos com dydx = -xy. Multiplicando ambos os lados por y,dx obtemos a forma separável:
y,dy = -x,dx

Passo 3

Integração de ambos os lados: aplicamos a integral indefinida em cada membro. Do lado esquerdo, integral y,dy = y^22 + C1. Do lado direito, integral -x,dx = -x^22 + C2. Podemos juntar as constantes em uma só, chamando de C.
Expressão da solução geral: igualando as integrais e combinando constantes, temos
y^22 = -x^22 + C Longrightarrow y^2 = -x^2 + K Longrightarrow x^2 + y^2 = K

Passo 4

Determinação da constante com a condição inicial: substituímos x=3 e y=4 em x^2 + y^2 = K. Assim,
3^2 + 4^2 = K ;Rightarrow; 9 + 16 = K ;Rightarrow; K = 25

Passo 5

Equação final da curva: colocando K = 25, obtemos a equação implícita da curva.
Como o ponto dado está no primeiro quadrante (com y=4>0), se quisermos a expressão explícita podemos isolar y:
y = +raiz25 - x^2

Resposta

x^2 + y^2 = 25

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