Analise a convergência das séries abaixo indicando os critérios utilizados:
Passo 1
Beleza, vamos analisar a convergência da série
. O assunto aqui é convergência de séries infinitas. Para resolver isso, vamos precisar usar critérios de comparação e simplificar a expressão para facilitar a análise.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a fração
. Podemos fatorar o denominador:
Então, a fração fica:
Passo 3
Agora, vamos simplificar ainda mais dividindo cada termo do numerador pelo denominador:
Observamos que a expressão pode ser comparada a uma série p, onde a forma geral é
.
Passo 4
Vamos analisar o comportamento dos termos para valores grandes de
. O termo dominante no numerador é
e no denominador é
, então:
A série
é a série harmônica, que sabemos que é divergente.
Passo 5
Usando o teste da comparação, já que
para
, e
é divergente, concluímos que nossa série também diverge.
Resposta
A série
diverge pelo teste da comparação com a série harmônica.