Analise a convergência das séries abaixo indicando os critérios utilizados:
sumn=0^+infty (-1)^n(n+1)!(n+1) raiz2^n+3

Passo 1

Beleza, vamos analisar a convergência dessa série que você trouxe. A série é:
sumn=0^+infty (-1)^n(n+1)!(n+1) raiz2^n+3
O conteúdo aqui envolve séries infinitas e os critérios de convergência. Para resolver isso, vamos precisar entender como aplicar o Teste da Série Alternada e o Teste da Razão para verificar se a série converge ou não.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar o termo geral da série para facilitar a análise:
(-1)^n(n+1)!(n+1) raiz2^n+3 = (-1)^n n!raiz2^n+3
Isso nos mostra que a série é alternada por causa do (-1)^n, ou seja, os termos mudam de sinal conforme n aumenta.

Passo 3

Vamos verificar a convergência absoluta da série. Isso significa que vamos analisar a série sem considerar os sinais alternados:
sumn=0^+infty n!raiz2^n+3
Para testar a convergência, vamos usar o Teste da Razão, que é eficaz para séries que envolvem fatoriais.

Passo 4

Aplicando o Teste da Razão, calculamos o limite:
L = limn to infty an+1an = limn to infty (n+1)!raiz2^(n+1)+3 times raiz2^n+3n! = limn to infty n+1raiz2 = +infty
Como L > 1, pelo Teste da Razão, a série diverge absolutamente.

Passo 5

Como a série não converge absolutamente, vamos verificar a convergência condicional usando o Teste da Série Alternada. Esse teste diz que uma série alternada converge se:
  1. Os termos an são decrescentes.
  2. limn to infty an = 0.
Vamos analisar:
an = n!raiz2^n+3
Observamos que n! cresce muito mais rápido que raiz2^n+3, então:
limn to infty an = limn to infty n!raiz2^n+3 = +infty
Esse limite não é zero, o que já quebra uma das condições do Teste da Série Alternada.

Resposta

A série diverge.

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