Analise a convergência das séries abaixo indicando os critérios utilizados:
Passo 1
Beleza, vamos analisar a convergência dessa série que você trouxe. A série é:
O conteúdo aqui envolve séries infinitas e os critérios de convergência. Para resolver isso, vamos precisar entender como aplicar o Teste da Série Alternada e o Teste da Razão para verificar se a série converge ou não.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar o termo geral da série para facilitar a análise:
Isso nos mostra que a série é alternada por causa do
, ou seja, os termos mudam de sinal conforme
aumenta.
Passo 3
Vamos verificar a convergência absoluta da série. Isso significa que vamos analisar a série sem considerar os sinais alternados:
Para testar a convergência, vamos usar o Teste da Razão, que é eficaz para séries que envolvem fatoriais.
Passo 4
Aplicando o Teste da Razão, calculamos o limite:
Como
, pelo Teste da Razão, a série diverge absolutamente.
Passo 5
Como a série não converge absolutamente, vamos verificar a convergência condicional usando o Teste da Série Alternada. Esse teste diz que uma série alternada converge se:
- Os termos
são decrescentes. -
.
Vamos analisar:
Observamos que
cresce muito mais rápido que
, então:
Esse limite não é zero, o que já quebra uma das condições do Teste da Série Alternada.
Resposta
A série diverge.