Determine o intervalo de convergência da série de potências:
sumn=0^+infty (x-1)^nn^3 3^n

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que precisamos resolver aqui é encontrar o intervalo de convergência da série de potências:
sumn=0^+infty (x-1)^nn^3 cdot 3^n
Matéria envolvida: Séries de potências e testes de convergência, especialmente o Teste da Razão.
O que vamos precisar: Aplicar o Teste da Razão para determinar para quais valores de x a série converge.

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar o Teste da Razão. Esse teste nos ajuda a encontrar o limite da razão entre termos consecutivos da série. Se esse limite for menor que 1, a série converge.
A fórmula do Teste da Razão é:
L = limn to infty | an+1an |
Onde an = (x-1)^nn^3 cdot 3^n .

Passo 3

Vamos calcular a razão an+1an :
an+1an = (x-1)^n+1(n+1)^3 cdot 3^n+1(x-1)^nn^3 cdot 3^n = (x-1)^n+1(n+1)^3 cdot 3^n+1 cdot n^3 cdot 3^n(x-1)^n
Simplificando:
= (x-1) cdot n^33 cdot (n+1)^3

Passo 4

Agora, vamos calcular o limite L :
L = limn to infty | (x-1) cdot n^33 cdot (n+1)^3 | = | x-13 | cdot limn to infty ( nn+1 )^3
Sabemos que:
limn to infty ( nn+1 )^3 = 1
Portanto:
L = | x-13 |

Passo 5

De acordo com o Teste da Razão, a série converge se L < 1 . Então, temos:
| x-13 | < 1
Vamos resolver essa desigualdade para encontrar os valores de x .

Passo 6

Resolvendo a desigualdade:
| x-13 | < 1 implies -1 < x-13 < 1
Multiplicando todos os termos por 3:
-3 < x - 1 < 3
Adicionando 1 em todos os termos:
-2 < x < 4

Passo 7

Agora, precisamos verificar os pontos finais x = -2 e x = 4 para ver se a série converge nesses valores.
Para x = -2 :
Substituindo na série:
sumn=0^+infty (-2-1)^nn^3 cdot 3^n = sumn=0^+infty (-3)^nn^3 cdot 3^n = sumn=0^+infty (-1)^nn^3
Essa série converge pela série alternada e pelo Teste p com p = 3 > 1 .
Para x = 4 :
Substituindo na série:
sumn=0^+infty (4-1)^nn^3 cdot 3^n = sumn=0^+infty 3^nn^3 cdot 3^n = sumn=0^+infty 1n^3
Essa também é uma série p com p = 3 > 1 , que converge.

Resposta

O intervalo de convergência da série é -2 <= x <= 4 .

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