Analise a convergência das séries abaixo:
\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{3}{n(n+1)}+\frac{1}{2^{n}}\right)

Passo 1

O enunciado dá a série
\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{3}{n(n+1)}+\frac{1}{2^{n}}\right)
O que é pedido: analisar a convergência dessa série (ou seja, decidir se converge ou diverge) e, se possível, obter seu valor. Informações úteis que já vemos no enunciado:
  • Cada termo da soma é a soma de duas parcelas: \dfrac{3}{n(n+1)} e \dfrac{1}{2^{n}}.
  • Para todo n\ge 1, ambos os termos são positivos.

Passo 2

Ideia geral (sem começar a calcular ainda): separar a série em duas séries mais simples usando linearidade:
\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{3}{n(n+1)}+\frac{1}{2^{n}}\right) = \sum_{n=1}^{\infty}\frac{3}{n(n+1)}+\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{2^{n}}.
Antes de somar resultados, vamos analisar cada série à direita. Como os termos são não-negativos, se cada série da direita converge então a soma também converge; além disso, a soma total será a soma das duas somas (propriedade da soma de séries com termos não-negativos).

Passo 3

Análise da série \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{3}{n(n+1)}.
Primeiro fazemos uma decomposição em frações parciais. Queremos escrever
\frac{3}{n(n+1)}=\frac{A}{n}+\frac{B}{n+1}.
Multiplicando por n(n+1) obtém-se
3 = A(n+1)+Bn = (A+B)n + A.
Comparando coeficientes em n e constantes, temos A+B=0 e A=3. Assim A=3 e B=-3. Logo
\frac{3}{n(n+1)} = 3\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\right).
Agora calculamos a soma parcial até N:
S_N^{(1)}=\sum_{n=1}^{N}\frac{3}{n(n+1)} =3\sum_{n=1}^{N}\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\right).
Essa soma é telescópica: escrevendo os primeiros termos nota-se cancelamento:
\sum_{n=1}^{N}\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\right) =\left(1-\frac{1}{2}\right)+\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{3}\right)+\cdots+\left(\frac{1}{N}-\frac{1}{N+1}\right) =1-\frac{1}{N+1}.
Portanto
S_N^{(1)}=3\left(1-\frac{1}{N+1}\right)=\frac{3N}{N+1}.
Tomando o limite quando N\to\infty,
\lim_{N\to\infty}S_N^{(1)}=\lim_{N\to\infty}\frac{3N}{N+1}=3.
Conclusão: a série \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{3}{n(n+1)} converge e sua soma é \,3.

Passo 4

Análise da série \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{2^{n}}.
Essa é uma série geométrica com termo geral \dfrac{1}{2^{n}}=(\tfrac{1}{2})^{n}. A fórmula padrão para a soma da série geométrica de termos a partir de n=1 é: se |r|<1, então
\sum_{n=1}^{\infty} r^{n}=\frac{r}{1-r}.
Aqui r=\dfrac{1}{2} e |r|<1, logo
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{2^{n}}=\frac{\tfrac{1}{2}}{1-\tfrac{1}{2}}=\frac{\tfrac{1}{2}}{\tfrac{1}{2}}=1.
(Se preferir ver pela soma parcial: S_N^{(2)}=\sum_{n=1}^N (1/2)^n=(1/2)\dfrac{1-(1/2)^N}{1-1/2}, cujo limite quando N\to\infty é 1.)
Portanto a segunda série converge e sua soma é \,1.

Passo 5

Conclusão final combinando as duas séries:
  • Ambas as séries \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{3}{n(n+1)} e \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{2^{n}} convergem (são séries de termos positivos, cada uma com soma finita: 3 e 1, respectivamente).
  • Logo a série original converge e sua soma é a soma das duas somas:
\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{3}{n(n+1)}+\frac{1}{2^{n}}\right)=3+1=4.
Observação extra (útil para prova): como todos os termos são não-negativos, a convergência é também absoluta (não há diferença entre convergência e convergência absoluta neste caso).

Resposta

A série converge (convergência absoluta).
A soma é 4.

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