Analise a convergência das séries abaixo:
Passo 1
O enunciado dá a série
O que é pedido: analisar a convergência dessa série (ou seja, decidir se converge ou diverge) e, se possível, obter seu valor. Informações úteis que já vemos no enunciado:
- Cada termo da soma é a soma de duas parcelas:
e . - Para todo
, ambos os termos são positivos.
Passo 2
Ideia geral (sem começar a calcular ainda): separar a série em duas séries mais simples usando linearidade:
Antes de somar resultados, vamos analisar cada série à direita. Como os termos são não-negativos, se cada série da direita converge então a soma também converge; além disso, a soma total será a soma das duas somas (propriedade da soma de séries com termos não-negativos).
Passo 3
Análise da série
.
Primeiro fazemos uma decomposição em frações parciais. Queremos escrever
Multiplicando por
obtém-se
Comparando coeficientes em
e constantes, temos
e
. Assim
e
. Logo
Agora calculamos a soma parcial até
:
Essa soma é telescópica: escrevendo os primeiros termos nota-se cancelamento:
Portanto
Tomando o limite quando
,
Conclusão: a série
converge e sua soma é
.
Passo 4
Análise da série
.
Essa é uma série geométrica com termo geral
. A fórmula padrão para a soma da série geométrica de termos a partir de
é: se
, então
Aqui
e
, logo
(Se preferir ver pela soma parcial:
, cujo limite quando
é
.)
Portanto a segunda série converge e sua soma é
.
Passo 5
Conclusão final combinando as duas séries:
- Ambas as séries
e convergem (são séries de termos positivos, cada uma com soma finita: e , respectivamente). - Logo a série original converge e sua soma é a soma das duas somas:
Observação extra (útil para prova): como todos os termos são não-negativos, a convergência é também absoluta (não há diferença entre convergência e convergência absoluta neste caso).
Resposta
A série converge (convergência absoluta).
A soma é .
A soma é