Seja
uma sequência tal que
para todo
, em que
é um número real fixo. Mostre que
converge para
.
6. Sejam
e
duas sequências tais que
e
para todo
. Mostre que
.
6. Sejam
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede (duas partes separadas).
- Parte (a): é dada uma sequência
e um número real fixo tais que, para todo ,
O que se pede: mostrar que
converge para
, ou seja,
.
- Parte (b): são dadas duas sequências
e com
e para todo
O que se pede: mostrar que
.
Passo 2
Primeiro, vamos recordar a definição precisa de convergência (essa é a ferramenta que usaremos muitas vezes).
Definição (epsilon–
): Dizemos que uma sequência
converge para
(escrevemos
) se, para todo
, existe um inteiro
tal que, para todo
, vale
Explicando:
é a precisão que queremos (um número pequeno), e
é um ponto a partir do qual todos os termos da sequência ficam dentro de uma bola de raio
em torno do limite
. No resto da solução vamos aplicar exatamente essa definição: dado
vamos construir um
que garanta a desigualdade desejada.
Passo 3
Prova da parte (a). Dado
, queremos encontrar
tal que, para todo
,
Pela hipótese sabemos que sempre
. Portanto basta garantir
para todo
.
Como escolher
? Pedimos
. Uma escolha concreta é
onde
é a parte inteira. Assim
é um inteiro e
. Então, para todo
temos
, logo
Pelo encadeamento de desigualdades e pela hipótese,
para todo
. Isso é exatamente a condição da definição epsilon–
. Portanto
.
(Dica prática: se, por exemplo,
, então
e podemos tomar
. A partir de
todos os termos satisfazem
.)
Passo 4
Preparação para a parte (b): ideia e ferramenta que usaremos. Vamos usar a desigualdade triangular e o fato de que
. A desigualdade triangular simples diz que, para quaisquer números reais
,
Aplicando com
,
e
obtemos
Pela hipótese temos
. Assim
A estratégia: dado
, vamos escolher
tal que ambos os termos da soma sejam
para todo
. Então a soma será
, o que dá a convergência.
Passo 5
Construição explícita do
para a parte (b).
- Como
, existe tal que, para todo ,
- Para controlar
queremos . Isso é equivalente a
Tomando logaritmo natural (função monótona), obtemos
Como
é inteiro, escolhemos
onde
é o teto. (Se
então
pode ser tomado como
; de todo modo a escolha com teto funciona em todos os casos.)
- Agora tome
Para todo
temos simultaneamente
e
. Portanto, usando a desigualdade do Passo 4,
para todo
. Isso satisfaz a definição epsilon–
para
, logo
.
Passo 6
Resumo final das conclusões (breve e motivador): pela construção explícita de
em cada caso, mostramos que para todo
existe
tal que, para todo
, a distância dos termos ao número
é menor que
. Assim ambas as afirmações pedidas foram provadas.