Seja \left\{a_{n}\right\}_{n=1}^{+\infty} uma sequência tal que \left|a_{n}-L\right| \leq \frac{1}{n} para todo n \in \mathbb{N}, em que L \in \mathbb{R} é um número real fixo. Mostre que \left\{a_{n}\right\}_{n=1}^{+\infty} converge para L.
6. Sejam \left\{a_{n}\right\}_{n=1}^{+\infty} e \left\{b_{n}\right\}_{n=1}^{+\infty} duas sequências tais que \lim _{n \rightarrow+\infty} a_{n}=L e \left|a_{n}-b_{n}\right| \leq 5 e^{-n} para todo n \in \mathbb{N}. Mostre que \lim _{n \rightarrow+\infty} b_{n}=L.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede (duas partes separadas).
  • Parte (a): é dada uma sequência \{a_n\}_{n=1}^{+\infty} e um número real fixo L tais que, para todo n\in\mathbb{N},
\left|a_{n}-L\right| \leq \frac{1}{n}.
O que se pede: mostrar que \{a_n\} converge para L, ou seja, \lim_{n\to\infty} a_n = L.
  • Parte (b): são dadas duas sequências \{a_n\} e \{b_n\} com
\lim_{n\to\infty} a_n = L
e para todo n\in\mathbb{N}
\left|a_{n}-b_{n}\right| \leq 5 e^{-n}.
O que se pede: mostrar que \lim_{n\to\infty} b_n = L.

Passo 2

Primeiro, vamos recordar a definição precisa de convergência (essa é a ferramenta que usaremos muitas vezes).
Definição (epsilon– N): Dizemos que uma sequência \{x_n\} converge para x (escrevemos \lim_{n\to\infty} x_n = x) se, para todo \varepsilon>0, existe um inteiro N tal que, para todo n\ge N, vale
|x_n - x| < \varepsilon.
Explicando: \varepsilon é a precisão que queremos (um número pequeno), e N é um ponto a partir do qual todos os termos da sequência ficam dentro de uma bola de raio \varepsilon em torno do limite x. No resto da solução vamos aplicar exatamente essa definição: dado \varepsilon>0 vamos construir um N que garanta a desigualdade desejada.

Passo 3

Prova da parte (a). Dado \varepsilon>0, queremos encontrar N tal que, para todo n\ge N,
\left|a_n - L\right| < \varepsilon.
Pela hipótese sabemos que sempre \left|a_n - L\right| \le \dfrac{1}{n}. Portanto basta garantir \dfrac{1}{n} < \varepsilon para todo n\ge N.
Como escolher N? Pedimos N> \dfrac{1}{\varepsilon}. Uma escolha concreta é
N = \left\lfloor \frac{1}{\varepsilon}\right\rfloor + 1,
onde \lfloor\cdot\rfloor é a parte inteira. Assim N é um inteiro e N>1/\varepsilon. Então, para todo n\ge N temos n\ge N>1/\varepsilon, logo
\frac{1}{n} \le \frac{1}{N} < \varepsilon.
Pelo encadeamento de desigualdades e pela hipótese,
\left|a_n - L\right| \le \frac{1}{n} \le \frac{1}{N} < \varepsilon,
para todo n\ge N. Isso é exatamente a condição da definição epsilon– N. Portanto \lim_{n\to\infty} a_n = L.
(Dica prática: se, por exemplo, \varepsilon = 0,01, então 1/\varepsilon = 100 e podemos tomar N=101. A partir de n=101 todos os termos satisfazem |a_n-L|<0,01.)

Passo 4

Preparação para a parte (b): ideia e ferramenta que usaremos. Vamos usar a desigualdade triangular e o fato de que a_n\to L. A desigualdade triangular simples diz que, para quaisquer números reais x,y,z,
|z-x| \le |z-y| + |y-x|.
Aplicando com z=b_n, y=a_n e x=L obtemos
\left|b_n - L\right| \le \left|b_n - a_n\right| + \left|a_n - L\right|.
Pela hipótese temos \left|b_n - a_n\right| \le 5 e^{-n}. Assim
\left|b_n - L\right| \le 5 e^{-n} + \left|a_n - L\right|.
A estratégia: dado \varepsilon>0, vamos escolher N tal que ambos os termos da soma sejam <\varepsilon/2 para todo n\ge N. Então a soma será <\varepsilon, o que dá a convergência.

Passo 5

Construição explícita do N para a parte (b).
  • Como \lim_{n\to\infty} a_n = L, existe N_1\in\mathbb{N} tal que, para todo n\ge N_1,
\left|a_n - L\right| < \frac{\varepsilon}{2}.
  • Para controlar 5 e^{-n} queremos 5 e^{-n} < \dfrac{\varepsilon}{2}. Isso é equivalente a
e^{-n} < \frac{\varepsilon}{10}.
Tomando logaritmo natural (função monótona), obtemos
-n < \ln\!\left(\frac{\varepsilon}{10}\right)\quad\Longleftrightarrow\quad n > \ln\!\left(\frac{10}{\varepsilon}\right).
Como n é inteiro, escolhemos
N_2 = \left\lceil \ln\!\left(\frac{10}{\varepsilon}\right)\right\rceil,
onde \lceil\cdot\rceil é o teto. (Se \ln(10/\varepsilon)\le 0 então N_2 pode ser tomado como 1; de todo modo a escolha com teto funciona em todos os casos.)
  • Agora tome
N = \max\{N_1,\,N_2\}.
Para todo n\ge N temos simultaneamente \left|a_n-L\right|<\varepsilon/2 e 5 e^{-n} < \varepsilon/2. Portanto, usando a desigualdade do Passo 4,
\left|b_n - L\right| \le 5 e^{-n} + \left|a_n - L\right| < \frac{\varepsilon}{2} + \frac{\varepsilon}{2} = \varepsilon,
para todo n\ge N. Isso satisfaz a definição epsilon– N para \{b_n\}, logo \lim_{n\to\infty} b_n = L.

Passo 6

Resumo final das conclusões (breve e motivador): pela construção explícita de N em cada caso, mostramos que para todo \varepsilon>0 existe N tal que, para todo n\ge N, a distância dos termos ao número L é menor que \varepsilon. Assim ambas as afirmações pedidas foram provadas.

Resposta

\displaystyle \lim_{n\to\infty} a_n = L
\displaystyle \lim_{n\to\infty} b_n = L

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