Determine se cada uma das sequências é convergente ou divergente. Se ela for convergente, encontre o limite.
Passo 1
O enunciado dá a sequência
definida por
para
, e pede para determinar se a sequência é convergente ou divergente e, se for convergente, encontrar o limite.
Informações relevantes fornecidas:
Informações relevantes fornecidas:
- A fórmula explícita de
é . - O parâmetro
tende para quando investigamos convergência de sequências.
Passo 2
Intuição inicial (sem rigor): quando
fica muito grande,
fica muito pequeno; para ângulos pequenos temos
. Assim espera-se que
então o candidato para o limite é
. Agora vamos transformar essa intuição em argumento rigoroso.
Passo 3
Vamos usar um resultado clássico e muito útil sobre a função seno:
Explicação didática e demonstração por desigualdades (teorema do aperto / squeeze):
- Para
real com vale a desigualdade geométrica
- Isso acontece porque
, que ao dividir por dá a desigualdade acima; a desigualdade é válida para positivos pequenos e estende-se por simetria para negativos. - Como
, pelo teorema do aperto segue que
Comentário: essa é uma das formas padrão de justificar
quando
.
Passo 4
Aplicação ao problema: faça a substituição
. Observações:
- Quando
, tem-se . - Escrevendo
em termos de obtemos
- Pelo resultado do Passo 3,
quando . Como tende a quando , segue que
Isto é um uso legítimo da composição: se
e a função
tem limite
em
, então
.
Passo 5
Conclusão e verificação alternativa breve (opcional): outra forma de ver é usar a expansão em série para ângulos pequenos,
tomando
obtém-se
o que confirma o resultado anterior.
Resposta
Convergente,