Determine se cada uma das sequências é convergente ou divergente. Se ela for convergente, encontre o limite.
a_{n}=n \operatorname{sen}\left(\frac{1}{n}\right)

Passo 1

O enunciado dá a sequência \left(a_{n}\right) definida por
a_{n}=n\operatorname{sen}\!\left(\frac{1}{n}\right),
para n\in\mathbb{N}, e pede para determinar se a sequência é convergente ou divergente e, se for convergente, encontrar o limite.
Informações relevantes fornecidas:
  • A fórmula explícita de a_{n} é a_{n}=n\operatorname{sen}\!\left(\dfrac{1}{n}\right).
  • O parâmetro n tende para +\infty quando investigamos convergência de sequências.

Passo 2

Intuição inicial (sem rigor): quando n fica muito grande, \dfrac{1}{n} fica muito pequeno; para ângulos pequenos temos \operatorname{sen}(x)\approx x. Assim espera-se que
a_{n}=n\operatorname{sen}\!\left(\frac{1}{n}\right)\approx n\cdot\frac{1}{n}=1,
então o candidato para o limite é 1. Agora vamos transformar essa intuição em argumento rigoroso.

Passo 3

Vamos usar um resultado clássico e muito útil sobre a função seno:
\lim_{x\to 0}\frac{\operatorname{sen} x}{x}=1.
Explicação didática e demonstração por desigualdades (teorema do aperto / squeeze):
  • Para x real com 0<x<\dfrac{\pi}{2} vale a desigualdade geométrica
\cos x < \frac{\operatorname{sen} x}{x} < 1.
  • Isso acontece porque \operatorname{sen} x < x < \dfrac{\operatorname{sen} x}{\cos x}, que ao dividir por x dá a desigualdade acima; a desigualdade é válida para x positivos pequenos e estende-se por simetria para x negativos.
  • Como \lim_{x\to 0}\cos x = 1, pelo teorema do aperto segue que
\lim_{x\to 0}\frac{\operatorname{sen} x}{x}=1.
Comentário: essa é uma das formas padrão de justificar \operatorname{sen} x\sim x quando x\to 0.

Passo 4

Aplicação ao problema: faça a substituição x=\dfrac{1}{n}. Observações:
  • Quando n\to\infty, tem-se x=\dfrac{1}{n}\to 0.
  • Escrevendo a_{n} em termos de x obtemos
a_{n}=n\operatorname{sen}\!\left(\frac{1}{n}\right)=\frac{\operatorname{sen} x}{x}\quad\text{com }x=\frac{1}{n}.
  • Pelo resultado do Passo 3, \dfrac{\operatorname{sen} x}{x}\to 1 quando x\to 0. Como x=\dfrac{1}{n} tende a 0 quando n\to\infty, segue que
\lim_{n\to\infty} a_{n}=\lim_{n\to\infty}\frac{\operatorname{sen}\!(1/n)}{1/n}=1.
Isto é um uso legítimo da composição: se x_n\to 0 e a função f(x)=\dfrac{\operatorname{sen} x}{x} tem limite 1 em 0, então f(x_n)\to 1.

Passo 5

Conclusão e verificação alternativa breve (opcional): outra forma de ver é usar a expansão em série para ângulos pequenos,
\operatorname{sen} y = y - \frac{y^{3}}{6}+o(y^{3})\quad(y\to 0),
tomando y=\dfrac{1}{n} obtém-se
a_{n}=n\operatorname{sen}\!\left(\frac{1}{n}\right)=1-\frac{1}{6n^{2}}+o\!\left(\frac{1}{n^{2}}\right)\to 1,
o que confirma o resultado anterior.

Resposta

Convergente, \displaystyle \lim_{n\to\infty} a_{n}=1

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