Analise a convergência das séries abaixo:
sumn=1^infty 2n^2+2 n+1

Passo 1

A série dada é sumn=1^infty 2n^2+2n+1. Estamos no contexto de séries numéricas e vamos aplicar o teste da série-p para decidir convergência.

Passo 2

Note que n^2+2n+1=(n+1)^2. Portanto o termo geral pode ser reescrito como an=2(n+1)^2.

Passo 3

Para usar diretamente o teste da p-série, fazemos a troca de índice k=n+1. Assim, quando n vai de 1 a infty, k vai de 2 a infty, e a soma fica
sumn=1^infty 2(n+1)^2 = sumk=2^infty 2k^2
Sabemos pela teoria que a p-série sumk=1^infty 1k^p converge se, e somente se, p>1. Aqui temos p=2>1, logo sumk=2^infty 2k^2 converge. Como os termos são positivos, a convergência é absoluta.

Passo 4

Opcionalmente, podemos obter o valor da soma sabendo que sumk=1^infty 1k^2=pi^26. Então
sumk=2^infty 2k^2 = 2l(sumk=1^infty 1k^2 -1r) = 2l(pi^26-1r) = pi^23-2

Resposta

A série converge absolutamente por ser uma p-série com p=2>1.

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