Calcule cada integral a seguir:
integral-infty^infty sen x d xx^2+4 x+5.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral imprópria
integral-infty^inftysen xx^2+4x+5,dx
O conteúdo principal é usar análise complexa, em particular o Teorema dos Resíduos junto com a representação
sen x=Iml(e^ixr)
e o Lema de Jordan para integrar no semicírculo do plano complexo.

Passo 2

Começamos completando o quadrado no denominador:
x^2+4x+5 = (x+2)^2+1
Fica então
integral-infty^inftysen xx^2+4x+5,dx = Imintegral-infty^inftye^ix(x+2)^2+1,dx

Passo 3

Definimos a função de variável complexa
f(z)=e^iz(z+2)^2+1
e consideramos a curva que é a reta real de -R a R fechada pelo semicírculo de raio R no semi-plano superior. Pelo Lema de Jordan, a contribuição do semicírculo tende a zero quando Rtoinfty, pois para Im z>0 temos l|e^izr|=e^-,Im z.

Passo 4

Os polos de f são as raízes de (z+2)^2+1=0, ou seja
z+2=pm i Longrightarrow z1=-2+i, z2=-2-i
z1=-2+i está no semi-plano superior.

Passo 5

O Teorema dos Resíduos diz
Como , temos

Passo 6

Substituindo no contorno,
Portanto, voltando à integral original,
Escrevendo , obtemos

Resposta

-pi,e^-1,sen 2

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