Calcule o módulo do número complexo Z=\frac{1}{1+i \cdot \operatorname{tg}(x)}, com x \neq k \pi+\frac{\pi}{2}, \operatorname{com} k, inteiro. R: \cos (x)

Passo 1

O enunciado pede que eu calcule o módulo do número complexo
Z=\frac{1}{1+i\cdot \tan(x)}
com a condição x \neq k\pi+\frac{\pi}{2}, para k inteiro.
Informações relevantes dadas:
  • A expressão de Z é \displaystyle \frac{1}{1+i\cdot \tan(x)}.
  • Está explícito que \tan(x) é bem definida (por isso excluiram os pontos onde \cos(x)=0).
  • A pergunta final é: encontrar |Z| (o módulo de Z).
    Não resolvo nada aqui ainda; apenas coloquei o que foi pedido e o que foi dado.

Passo 2

Lembrete útil sobre módulo de complexos (aquelas fórmulas que aparecem sempre nas provas): para um número complexo escrito como a+ib,
|a+ib|=\sqrt{a^{2}+b^{2}}.
Também vale a propriedade multiplicativa do módulo: para dois complexos w e u,
|w\cdot u|=|w|\cdot|u|
e em particular
\left|\frac{1}{w}\right|=\frac{1}{|w|}
desde que w\neq 0. Vou usar essas duas ideias.

Passo 3

Aplicando a propriedade \left|\dfrac{1}{w}\right|=\dfrac{1}{|w|} ao nosso Z, com w=1+i\cdot\tan(x), obtemos
|Z|=\frac{1}{|\,1+i\cdot \tan(x)\,|}.
Então o problema passa a ser calcular |\,1+i\cdot \tan(x)\,|.

Passo 4

Usando a fórmula do módulo de um complexo a+ib com a=1 e b=\tan(x),
|\,1+i\cdot \tan(x)\,|=\sqrt{1^{2}+\tan^{2}(x)}=\sqrt{1+\tan^{2}(x)}.
Agora precisamos simplificar \sqrt{1+\tan^{2}(x)} usando uma identidade trigonométrica.

Passo 5

Identidade trigonométrica essencial (muito usada em provas):
1+\tan^{2}(x)=\operatorname{sec}^{2}(x),
onde \operatorname{sec}(x) é definido por \operatorname{sec}(x)=\dfrac{1}{\cos(x)}. Como \cos(x)\neq 0 no domínio dado, \operatorname{sec}(x) está bem definida. Assim
\sqrt{1+\tan^{2}(x)}=\sqrt{\operatorname{sec}^{2}(x)}=|\operatorname{sec}(x)|.
Observação: a raiz quadrada de um quadrado dá o valor absoluto.

Passo 6

Substituindo isso em |Z| do Passo 3, temos
|Z|=\frac{1}{|\,1+i\cdot \tan(x)\,|}=\frac{1}{|\operatorname{sec}(x)|}.
Como |\operatorname{sec}(x)|=\left|\dfrac{1}{\cos(x)}\right|=\dfrac{1}{|\cos(x)|\!}, segue que
|Z|=\frac{1}{\dfrac{1}{|\cos(x)|}}=|\cos(x)|.

Passo 7

(Para fixar a ideia: alternativa rápida) Podemos também escrever \tan(x)=\dfrac{\sin(x)}{\cos(x)} e observar
1+i\tan(x)=\frac{\cos(x)+i\sin(x)}{\cos(x)}=\frac{e^{ix}}{\cos(x)}.
Então
Z=\frac{1}{1+i\tan(x)}=\frac{\cos(x)}{e^{ix}}=\cos(x)\,e^{-ix},
e tomando módulo chega-se ao mesmo resultado porque |e^{-ix}|=1:
|Z|=|\cos(x)|\cdot |e^{-ix}|=|\cos(x)|.
Essa alternativa mostra de forma intuitiva por que aparece |\cos(x)|.

Resposta

|Z|=|\cos(x)|

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