Calcule o módulo do número complexo Z=\frac{1}{1+i \cdot \operatorname{tg}(x)}, com x \neq k \pi+\frac{\pi}{2}, \operatorname{com} k, inteiro. R: \cos (x)
Passo 1
O enunciado pede que eu calcule o módulo do número complexo
Z=\frac{1}{1+i\cdot \tan(x)}
com a condição x \neq k\pi+\frac{\pi}{2}, para k inteiro.
Informações relevantes dadas:
A expressão de Z é \displaystyle \frac{1}{1+i\cdot \tan(x)}.
Está explícito que \tan(x) é bem definida (por isso excluiram os pontos onde \cos(x)=0).
A pergunta final é: encontrar |Z| (o módulo de Z).
Não resolvo nada aqui ainda; apenas coloquei o que foi pedido e o que foi dado.
Passo 2
Lembrete útil sobre módulo de complexos (aquelas fórmulas que aparecem sempre nas provas): para um número complexo escrito como a+ib,
|a+ib|=\sqrt{a^{2}+b^{2}}.
Também vale a propriedade multiplicativa do módulo: para dois complexos w e u,
|w\cdot u|=|w|\cdot|u|
e em particular
\left|\frac{1}{w}\right|=\frac{1}{|w|}
desde que w\neq 0. Vou usar essas duas ideias.
Passo 3
Aplicando a propriedade \left|\dfrac{1}{w}\right|=\dfrac{1}{|w|} ao nosso Z, com w=1+i\cdot\tan(x), obtemos
|Z|=\frac{1}{|\,1+i\cdot \tan(x)\,|}.
Então o problema passa a ser calcular |\,1+i\cdot \tan(x)\,|.
Passo 4
Usando a fórmula do módulo de um complexo a+ib com a=1 e b=\tan(x),
Agora precisamos simplificar \sqrt{1+\tan^{2}(x)} usando uma identidade trigonométrica.
Passo 5
Identidade trigonométrica essencial (muito usada em provas):
1+\tan^{2}(x)=\operatorname{sec}^{2}(x),
onde \operatorname{sec}(x) é definido por \operatorname{sec}(x)=\dfrac{1}{\cos(x)}. Como \cos(x)\neq 0 no domínio dado, \operatorname{sec}(x) está bem definida. Assim