Prove que \frac{1+\operatorname{sen}(x)+i \cdot \cos (x)}{1-\operatorname{sen}(x)-i \cdot \cos (x)}=[\operatorname{tg}(x)+\operatorname{sec} (x)] \cdot i, para todo x, real x \neq \frac{\pi}{2}+k \cdot \pi.

Passo 1

O que o enunciado pede: provar que, para todo x\in\mathbb{R} tal que x \neq \frac{\pi}{2}+k\pi,
\frac{1+\operatorname{sen}(x)+i\cdot\cos(x)}{1-\operatorname{sen}(x)-i\cdot\cos(x)}=[\operatorname{tg}(x)+\operatorname{sec}(x)]\cdot i.
Informações dadas e condições relevantes:
  • A expressão envolve números complexos; i é a unidade imaginária.
  • As funções trigonométricas usadas são \operatorname{sen}(x), \cos(x), \operatorname{tg}(x) e \operatorname{sec}(x).
  • Há a restrição x \neq \frac{\pi}{2}+k\pi (isto garante, entre outras coisas, que \cos(x)\neq 0, evitando divisões por zero).
    A partir daqui vamos transformar a fração do lado esquerdo até obter o lado direito, mostrando passo a passo por que as duas expressões coincidem.

Passo 2

Estratégia (explicada de forma didática): em frações complexas é comum eliminar a parte imaginária do denominador multiplicando numerador e denominador pelo conjugado do denominador. O conjugado de um número complexo a+ib é a-ib; multiplicando a+ib por a-ib obtemos um número real a^2+b^2. Aqui isso deixa o denominador real e facilita simplificar a expressão. Como x está na faixa proibida onde o denominador seria zero, podemos multiplicar sem problema.

Passo 3

Identificamos o denominador e seu conjugado. O denominador é
1-\operatorname{sen}(x)-i\cdot\cos(x).
Seu conjugado é
1-\operatorname{sen}(x)+i\cdot\cos(x).
Multiplicamos numerador e denominador por esse conjugado:
\frac{1+\operatorname{sen}(x)+i\cdot\cos(x)}{1-\operatorname{sen}(x)-i\cdot\cos(x)} = \frac{\bigl(1+\operatorname{sen}(x)+i\cdot\cos(x)\bigr)\bigl(1-\operatorname{sen}(x)+i\cdot\cos(x)\bigr)} {\bigl(1-\operatorname{sen}(x)-i\cdot\cos(x)\bigr)\bigl(1-\operatorname{sen}(x)+i\cdot\cos(x)\bigr)}.

Passo 4

Calculamos o numerador expandindo como produto de dois números complexos. Seja
a=1+\operatorname{sen}(x),\qquad b=\cos(x),\qquad c=1-\operatorname{sen}(x),\qquad d=\cos(x).
Então o produto é (a+ib)(c+id). Usando a regra (a+ib)(c+id)=(ac-bd)+i(ad+bc), obtemos:
ac = (1+\operatorname{sen}(x))(1-\operatorname{sen}(x)) = 1-\operatorname{sen}^2(x),
bd = \cos(x)\cdot\cos(x)=\cos^2(x),
logo a parte real do produto é
ac-bd = 1-\operatorname{sen}^2(x)-\cos^2(x).
Como vale a identidade trigonométrica \operatorname{sen}^2(x)+\cos^2(x)=1, temos
ac-bd = 1-1 = 0.
Agora a parte imaginária:
ad+bc = (1+\operatorname{sen}(x))\cos(x) + \cos(x)(1-\operatorname{sen}(x)) = 2\cos(x).
Portanto o numerador reduz-se a
0 + i\cdot 2\cos(x) = i\cdot 2\cos(x).

Passo 5

Calculamos o denominador (produto de número com seu conjugado). Temos
\bigl(1-\operatorname{sen}(x)-i\cos(x)\bigr)\bigl(1-\operatorname{sen}(x)+i\cos(x)\bigr) =(1-\operatorname{sen}(x))^2+\cos^2(x).
Expandindo e usando \operatorname{sen}^2(x)+\cos^2(x)=1:
(1-\operatorname{sen}(x))^2+\cos^2(x)=1-2\operatorname{sen}(x)+\operatorname{sen}^2(x)+\cos^2(x) =1-2\operatorname{sen}(x)+1=2(1-\operatorname{sen}(x)).

Passo 6

Substituindo numerador e denominador simplificados na fração obtemos:
\frac{i\cdot 2\cos(x)}{2(1-\operatorname{sen}(x))}=i\cdot\frac{\cos(x)}{1-\operatorname{sen}(x)}.
Então já temos
\frac{1+\operatorname{sen}(x)+i\cos(x)}{1-\operatorname{sen}(x)-i\cos(x)}=i\cdot\frac{\cos(x)}{1-\operatorname{sen}(x)}.

Passo 7

Agora mostramos que \displaystyle\frac{\cos(x)}{1-\operatorname{sen}(x)}=\operatorname{tg}(x)+\operatorname{sec}(x). Uma maneira direta (válida pois \cos(x)\neq 0 pela hipótese) é multiplicar numerador e denominador por 1+\operatorname{sen}(x):
\frac{\cos(x)}{1-\operatorname{sen}(x)}=\frac{\cos(x)\bigl(1+\operatorname{sen}(x)\bigr)}{\bigl(1-\operatorname{sen}(x)\bigr)\bigl(1+\operatorname{sen}(x)\bigr)} =\frac{\cos(x)\bigl(1+\operatorname{sen}(x)\bigr)}{1-\operatorname{sen}^2(x)}.
Como 1-\operatorname{sen}^2(x)=\cos^2(x), segue
\frac{\cos(x)}{1-\operatorname{sen}(x)}=\frac{\cos(x)\bigl(1+\operatorname{sen}(x)\bigr)}{\cos^2(x)} =\frac{1+\operatorname{sen}(x)}{\cos(x)}.
Finalmente, usando \operatorname{tg}(x)=\dfrac{\operatorname{sen}(x)}{\cos(x)} e \operatorname{sec}(x)=\dfrac{1}{\cos(x)},
\frac{1+\operatorname{sen}(x)}{\cos(x)}=\frac{\operatorname{sen}(x)}{\cos(x)}+\frac{1}{\cos(x)}=\operatorname{tg}(x)+\operatorname{sec}(x).

Passo 8

Juntando os resultados dos passos anteriores concluímos a identidade desejada:
\frac{1+\operatorname{sen}(x)+i\cos(x)}{1-\operatorname{sen}(x)-i\cos(x)}=i\bigl(\operatorname{tg}(x)+\operatorname{sec}(x)\bigr),
válida para todo x\in\mathbb{R} com x\neq\frac{\pi}{2}+k\pi (essa condição garante \cos(x)\neq 0 e que o denominador inicial não seja zero). Boa! Conseguimos provar a igualdade transformando a fração e usando identidades trigonométricas básicas.

Resposta

\frac{1+\operatorname{sen}(x)+i\cdot\cos(x)}{1-\operatorname{sen}(x)-i\cdot\cos(x)}=[\operatorname{tg}(x)+\operatorname{sec}(x)]\cdot i

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