Prove que
, para todo
, real
.
Passo 1
O que o enunciado pede: provar que, para todo
tal que
,
Informações dadas e condições relevantes:
- A expressão envolve números complexos;
é a unidade imaginária. - As funções trigonométricas usadas são
, , e . - Há a restrição
(isto garante, entre outras coisas, que , evitando divisões por zero).
A partir daqui vamos transformar a fração do lado esquerdo até obter o lado direito, mostrando passo a passo por que as duas expressões coincidem.
Passo 2
Estratégia (explicada de forma didática): em frações complexas é comum eliminar a parte imaginária do denominador multiplicando numerador e denominador pelo conjugado do denominador. O conjugado de um número complexo
é
; multiplicando
por
obtemos um número real
. Aqui isso deixa o denominador real e facilita simplificar a expressão. Como
está na faixa proibida onde o denominador seria zero, podemos multiplicar sem problema.
Passo 3
Identificamos o denominador e seu conjugado. O denominador é
Seu conjugado é
Multiplicamos numerador e denominador por esse conjugado:
Passo 4
Calculamos o numerador expandindo como produto de dois números complexos. Seja
Então o produto é
. Usando a regra
, obtemos:
logo a parte real do produto é
Como vale a identidade trigonométrica
, temos
Agora a parte imaginária:
Portanto o numerador reduz-se a
Passo 5
Calculamos o denominador (produto de número com seu conjugado). Temos
Expandindo e usando
:
Passo 6
Substituindo numerador e denominador simplificados na fração obtemos:
Então já temos
Passo 7
Agora mostramos que
. Uma maneira direta (válida pois
pela hipótese) é multiplicar numerador e denominador por
:
Como
, segue
Finalmente, usando
e
,
Passo 8
Juntando os resultados dos passos anteriores concluímos a identidade desejada:
válida para todo
com
(essa condição garante
e que o denominador inicial não seja zero). Boa! Conseguimos provar a igualdade transformando a fração e usando identidades trigonométricas básicas.