Analise o crescimento de cada uma das funções abaixo. Faça a representação gráfica do crescimento.
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente analisar como a função
, onde
, cresce. Isso significa que a gente precisa entender como essa função se comporta conforme
aumenta ou diminui. Para isso, vamos precisar usar conhecimentos de funções exponenciais e análise de crescimento, além de derivadas para entender se a função está aumentando ou diminuindo em certos intervalos.
Passo 2
Primeiro, vamos entender os componentes da função
. Aqui, temos um termo linear
multiplicado por um termo exponencial
. Como
, o termo
representa uma função exponencial decrescente.
Passo 3
Vamos analisar o comportamento da função quando
tende ao infinito positivo e negativo.
-
Quando
: -
tende para zero porque é negativo. - Multiplicando por
, que está indo para , a função tende para zero.
-
-
Quando
: -
tende para já que se torna positivo grande. - Multiplicando por
, que está indo para , a função tende para .
-
Passo 4
Agora, vamos descobrir se a função tem pontos de máximo ou mínimo, ou seja, onde ela para de crescer e começa a decrescer ou vice-versa. Para isso, precisamos calcular a derivada primeira de
.
Usando a regra do produto:
Passo 5
Para encontrar os pontos críticos, onde a função pode ter máximo ou mínimo, igualamos a derivada a zero:
Sabemos que
nunca é zero, então:
Esse é o ponto onde a função pode ter um ponto de máximo ou mínimo.
Passo 6
Vamos determinar se esse ponto é um máximo ou mínimo verificando o sinal da derivada antes e depois desse ponto.
-
Para
: -
(já que e é menor que ) -
⇒ a função está decrescendo.
-
-
Para
: -
-
⇒ a função está crescendo.
-
Isso significa que em
, a função muda de decrescer para crescer, indicando um ponto de mínimo.
Passo 7
Vamos resumir o comportamento da função:
-
Limites:
-
-
Ponto crítico:
-
é um ponto de mínimo.
-
-
Crescimento:
- Decresce para
- Cresce para
- Decresce para
Resposta
A função
, com
, decresce até
, onde atinge um mínimo, e depois começa a crescer, aproximando-se de zero quando
tende a
. Graficamente, ela apresenta uma curva que desce para um ponto mais baixo em
e então sobe suavemente em direção ao eixo das abscissas conforme
aumenta.