Analise o crescimento de cada uma das funções abaixo. Faça a representação gráfica do crescimento.
f(x) = x * e^(a * x), a < 0.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente analisar como a função , onde , cresce. Isso significa que a gente precisa entender como essa função se comporta conforme aumenta ou diminui. Para isso, vamos precisar usar conhecimentos de funções exponenciais e análise de crescimento, além de derivadas para entender se a função está aumentando ou diminuindo em certos intervalos.

Passo 2

Primeiro, vamos entender os componentes da função . Aqui, temos um termo linear multiplicado por um termo exponencial . Como , o termo representa uma função exponencial decrescente.

Passo 3

Vamos analisar o comportamento da função quando tende ao infinito positivo e negativo.
  • Quando :
    • tende para zero porque é negativo.
    • Multiplicando por , que está indo para , a função tende para zero.
  • Quando :
    • tende para já que se torna positivo grande.
    • Multiplicando por , que está indo para , a função tende para .

Passo 4

Agora, vamos descobrir se a função tem pontos de máximo ou mínimo, ou seja, onde ela para de crescer e começa a decrescer ou vice-versa. Para isso, precisamos calcular a derivada primeira de .
Usando a regra do produto:

Passo 5

Para encontrar os pontos críticos, onde a função pode ter máximo ou mínimo, igualamos a derivada a zero:
Sabemos que nunca é zero, então:
Esse é o ponto onde a função pode ter um ponto de máximo ou mínimo.

Passo 6

Vamos determinar se esse ponto é um máximo ou mínimo verificando o sinal da derivada antes e depois desse ponto.
  • Para :
    • (já que e é menor que )
    • ⇒ a função está decrescendo.
  • Para :
    • ⇒ a função está crescendo.
Isso significa que em , a função muda de decrescer para crescer, indicando um ponto de mínimo.

Passo 7

Vamos resumir o comportamento da função:
  • Limites:
  • Ponto crítico:
    • é um ponto de mínimo.
  • Crescimento:
    • Decresce para
    • Cresce para

Resposta

A função , com , decresce até , onde atinge um mínimo, e depois começa a crescer, aproximando-se de zero quando tende a . Graficamente, ela apresenta uma curva que desce para um ponto mais baixo em e então sobe suavemente em direção ao eixo das abscissas conforme aumenta.

Exercícios relacionados