Nos problemas abaixo verificar se a função dada, ou as funções dadas, constitucm solução da equação diferencial: xy' - y = x^2 ; y(x) = 3x + x^2.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação diferencial: e uma função proposta: . Nosso objetivo é verificar se essa função realmente resolve a equação. Para isso, vamos precisar calcular a derivada de , substituir na equação e ver se tudo fica igual.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada de . A derivada é basicamente dizer como a função muda em relação a . A nossa função é . Derivando cada termo:

Passo 3

Agora que temos , vamos substituir e na equação diferencial original:
Substituindo:

Passo 4

Vamos simplificar o lado esquerdo da equação:
Agora, combinando termos semelhantes:
Então, temos:
Isso significa que a igualdade se sustenta.

Resposta

Sim, a função é solução da equação diferencial .

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