Nos problemas abaixo determinar a ordem da equação diferencial e dizer se a equação é linear ou não-linear: (1 + y^2) d^2y/dx^2 + x dy/dx + y = e^x

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que precisamos aqui é determinar a ordem da equação diferencial dada e dizer se ela é linear ou não-linear. Estamos lidando com equações diferenciais, que são equações que envolvem derivadas de uma função desconhecida. Para isso, vamos precisar identificar as derivadas presentes na equação e analisar como elas aparecem na equação.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a ordem da equação diferencial. A ordem é determinada pela derivada de maior grau presente na equação. Olhando para a equação:
Aqui, temos a segunda derivada de com relação a , que é . Como essa é a derivada de ordem mais alta na equação, a ordem da equação diferencial é 2.

Passo 3

Agora, vamos verificar se a equação é linear ou não-linear. Uma equação diferencial é linear se ela pode ser escrita na forma:
onde os coeficientes dependem apenas de e não de ou suas derivadas, e é uma função de .
Na nossa equação:
O termo multiplica a segunda derivada . Note que esse coeficiente depende de de forma não linear (tem ). Como os coeficientes devem depender apenas de para a equação ser linear, e aqui temos uma dependência de , a equação é não-linear.

Resposta

A equação diferencial é de segunda ordem e não-linear.

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