Analise com cuidado cada um dos limites abaixo. Quando possível calcule-os, caso contrário justifique.
(t)
(t)
Passo 1
O enunciado pede para calcular o limite
$$
\lim_{x\to 0} \frac{1 - \sqrt[3]{1 - x}}{1 + \sqrt[3]{3x - 1}}$$
Isso cai no conteúdo de limites envolvendo raízes cúbicas e indeterminação do tipo . Para resolver, vamos precisar usar a Regra de L’Hôpital, já que a substituição direta dá essa forma indeterminada.
Isso cai no conteúdo de limites envolvendo raízes cúbicas e indeterminação do tipo
Passo 2
Primeiro, tentamos a substituição direta de
:
Como obtemos
, é justamente uma situação para aplicar L’Hôpital.
Passo 3
A Regra de L’Hôpital diz que, se
e
e ambas as derivadas existem e
perto de
, então
desde que o limite do lado direito exista.
Passo 4
Agora vamos derivar numerador e denominador.
Para o numerador :
Para o numerador
Para o denominador
:
Passo 5
Finalmente, avaliaremos
e
em
:
Pelo L’Hôpital,