Analise com cuidado cada um dos limites abaixo. Quando possível calcule-os, caso contrário justifique.
(t) lim x 0 1-raiz[3]1-x1+raiz[3]3 x-1

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite
$$
\lim_{x\to 0} \frac{1 - \sqrt[3]{1 - x}}{1 + \sqrt[3]{3x - 1}}$$
Isso cai no conteúdo de limites envolvendo raízes cúbicas e indeterminação do tipo limxto 0 1 - raiz[3]1 - x1 + raiz[3]3x - 1. Para resolver, vamos precisar usar a Regra de L’Hôpital, já que a substituição direta dá essa forma indeterminada.

Passo 2

Primeiro, tentamos a substituição direta de x = 0:
numerador = 1 - raiz[3]1 - 0 = 1 - 1 = 0,
denominador = 1 + raiz[3]3cdot0 - 1 = 1 + (-1) = 0
Como obtemos 0/0, é justamente uma situação para aplicar L’Hôpital.

Passo 3

A Regra de L’Hôpital diz que, se limxto a f(x)=0 e limxto a g(x)=0 e ambas as derivadas existem e g'(x)neq 0 perto de a, então
limxto a f(x)g(x) = limxto a f'(x)g'(x)
desde que o limite do lado direito exista.

Passo 4

Agora vamos derivar numerador e denominador.
Para o numerador f(x)=1 - (1 - x)^1/3:
f'(x) = -13(1 - x)^-2/3 cdot (-1) = 13(1 - x)^-2/3
Para o denominador g(x)=1 + (3x - 1)^1/3:
g'(x) = 13(3x - 1)^-2/3 cdot 3 = (3x - 1)^-2/3

Passo 5

Finalmente, avaliaremos f'(x) e g'(x) em x=0:
f'(0) = 13(1 - 0)^-2/3 = 13,
g'(0) = (3cdot0 - 1)^-2/3 = (-1)^-2/3 = 1
Pelo L’Hôpital,
limxto 0 1 - raiz[3]1 - x1 + raiz[3]3x - 1 = f'(0)g'(0) = 1/31 = 13

Resposta

1/3

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