Analise a curva
em relação à concavidade, aos pontos de inflexão e aos mínimos e máximos locais.
Passo 1
Neste exercício, vamos analisar a curva
. O conteúdo que usamos inclui derivadas para identificar extremos locais (onde
) e concavidade/pontos de inflexão (onde
).
Passo 2
Calculamos a primeira derivada da função.
Igualando
obtemos os pontos críticos
Passo 3
Para ver se são mínimos ou máximos locais, estudamos o sinal de
em torno de cada ponto crítico:
-
Para
: escolhemos valores como e . Em ambos , ou seja, não há troca de sinal: não é nem mínimo nem máximo, é um ponto de derivada zero sem extremum. -
Para
: escolhemos (dá ) e (dá ). O sinal troca de negativo para positivo, então há um mínimo local em . Calculando
Passo 4
Agora calculamos a segunda derivada para analisar concavidade e achar pontos de inflexão:
Resolvendo
dá
e
. Estudando o sinal de
:
- Para
, (côncava para cima). - Para
, (côncava para baixo). - Para
, (côncava para cima).
Logo há pontos de inflexão em
e
. Calculando as ordenadas:
Passo 5
Reunindo tudo: não há máximo local; mínimo local em
; concavidade para cima em
e para baixo em
; pontos de inflexão em
e
.
Resposta
A curva é côncava para cima em
e côncava para baixo em
. Os pontos de inflexão são
e
. Há um mínimo local em
e não há máximo local.