Analise a curva y=x^4-4 x^3 em relação à concavidade, aos pontos de inflexão e aos mínimos e máximos locais.

Passo 1

Neste exercício, vamos analisar a curva y = x^4 - 4x^3. O conteúdo que usamos inclui derivadas para identificar extremos locais (onde y'=0) e concavidade/pontos de inflexão (onde y''=0).

Passo 2

Calculamos a primeira derivada da função.
y' = ddxl(x^4 - 4x^3r) = 4x^3 - 12x^2 = 4x^2(x - 3)
Igualando y'=0 obtemos os pontos críticos
4x^2(x - 3)=0implies x=0(mu

Passo 3

Para ver se são mínimos ou máximos locais, estudamos o sinal de y' em torno de cada ponto crítico:
  • Para x=0: escolhemos valores como x=-1 e x=1. Em ambos y'<0, ou seja, não há troca de sinal: não é nem mínimo nem máximo, é um ponto de derivada zero sem extremum.
  • Para x=3: escolhemos x=2 (dá y'<0) e x=4 (dá y'>0). O sinal troca de negativo para positivo, então há um mínimo local em x=3. Calculando y(3)=3^4-4cdot3^3=81-108=-27

Passo 4

Agora calculamos a segunda derivada para analisar concavidade e achar pontos de inflexão:
y'' = ddx(4x^3 - 12x^2) = 12x^2 - 24x = 12x(x - 2)
Resolvendo y''=0 x=0 e x=2. Estudando o sinal de y'':
  • Para x<0, y''>0 (côncava para cima).
  • Para 0, y''<0 (côncava para baixo).
  • Para x>2, y''>0 (côncava para cima).
Logo há pontos de inflexão em x=0 e x=2. Calculando as ordenadas:
y(0)=0^4-4cdot0^3=0, y(2)=2^4-4cdot2^3=16-32=-16

Passo 5

Reunindo tudo: não há máximo local; mínimo local em (3,-27); concavidade para cima em (0,2) e para baixo em (0,0); pontos de inflexão em (2,-16) e .

Resposta

A curva é côncava para cima em (0,2) e côncava para baixo em (0,0). Os pontos de inflexão são (2,-16) e (3,-27). Há um mínimo local em e não há máximo local.

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