Dê os intervalos onde a função é crescente e os intervalos onde a função é decrescente.
(c) h(x)=x^2-x+12(x-1)

Passo 1

O enunciado pede para encontrar os intervalos em que a função
h(x)=x^2-x+12(x-1)
é crescente ou decrescente. O conteúdo principal aqui é usar o teste da derivada: calculamos h'(x), achamos onde ela é positiva (cresce) ou negativa (decresce).

Passo 2

Antes de tudo, determinamos o domínio de h. Como é uma função racional com denominador 2(x-1), temos
Dom(h)=xinRmid xneq1

Passo 3

Vamos calcular h'(x) pela regra do quociente. É mais rápido escrever
h(x)=tfrac12;x^2 - x + 1x-1
e aplicar
ddxl(tfracuvr) =u'v - uv'v^2
Aqui u=x^2-x+1 e v=x-1, então u'=2x-1, v'=1. Logo
h'(x) =tfrac12, (2x-1)(x-1)-l(x^2 - x + 1r)(x-1)^2 =x(x-2)2(x-1)^2

Passo 4

Note que o denominador 2(x-1)^2 é sempre positivo (exceto onde não existe), então o sinal de h'(x) vem de
x(x-2)
As raízes desse numerador são x=0 e x=2, e o domínio exclui x=1. Assim separamos em quatro subintervalos:
  • Para x<0: x<0 e x-2<0 Rightarrow x(x-2)>0 Rightarrow h'(x)>0.
  • Para 0<x<1: x>0, x-2<0 Rightarrow x(x-2)<0 Rightarrow h'(x)<0.
  • Para 1<x<2: mesma análise de 0<x<2 Rightarrow h'(x)<0.
  • Para x>2: x>0, x-2>0 Rightarrow x(x-2)>0 Rightarrow h'(x)>0.

Passo 5

Concluímos que
  • h é crescente quando h'(x)>0, ou seja em
    (-infty,0)cup(2,infty).
  • h é decrescente quando h'(x)<0, ou seja em
    (0,1)cup(1,2).

Resposta

h é crescente em (-infty,0)cup(2,infty)
h é decrescente em (0,1)cup(1,2)

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