Encontre a solução geral y(t) das seguintes equações diferenciais
y^prime=y-x

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício que você me enviou é sobre resolver uma equação diferencial, especificamente y' = y - x . Isso faz parte do estudo de equações diferenciais de primeira ordem, que são usadas para modelar várias situações onde uma quantidade está mudando em relação a outra. Para resolver isso, vamos precisar usar o método dos fatores integrantes, que é uma técnica padrão para resolver equações diferenciais lineares de primeira ordem.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação para deixar mais claro:
dydx = y - x
Aqui, dydx representa a derivada de y em relação a x . Nossa meta é encontrar uma função y(x) que satisfaça essa equação.

Passo 3

Vamos reorganizar a equação para o formato padrão de uma equação diferencial linear de primeira ordem:
dydx - y = -x
No padrão, temos dydx + P(x)y = Q(x) . Aqui, P(x) = -1 e Q(x) = -x .

Passo 4

Para resolver, precisamos encontrar um fator integrante mu(x) , que é dado por:
mu(x) = e^integral P(x)dx
Substituindo P(x) = -1 :
mu(x) = e^integral -1 dx = e^-x

Passo 5

Multiplicamos toda a equação diferencial pelo fator integrante mu(x) :
e^-xdydx - e^-xy = -x e^-x
Isso simplifica a equação para a forma:
ddx(y e^-x) = -x e^-x
Aqui, usamos a propriedade do fator integrante que transforma o lado esquerdo em uma derivada do produto.

Passo 6

Agora, vamos integrar ambos os lados da equação:
integral ddx(y e^-x) dx = integral -x e^-x dx
O lado esquerdo integra para y e^-x . Para o lado direito, usamos a integração por partes, onde escolhemos:
  • u = -x du = -dx
  • dv = e^-x dx v = -e^-x
Aplicando a integração por partes:
integral -x e^-x dx = -x(-e^-x) - integral -e^-x (-1) dx = x e^-x - e^-x + C
Onde C é a constante de integração.

Passo 7

Voltando à nossa equação integrada:
y e^-x = x e^-x - e^-x + C
Agora, vamos multiplicar ambos os lados por e^x para isolar y :
y = x - 1 + C e^x

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
y(x) = x - 1 + C e^x
Onde C é uma constante arbitrária.

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