Encontre a solução geral
das seguintes equações diferenciais
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício que você me enviou é sobre resolver uma equação diferencial, especificamente
. Isso faz parte do estudo de equações diferenciais de primeira ordem, que são usadas para modelar várias situações onde uma quantidade está mudando em relação a outra. Para resolver isso, vamos precisar usar o método dos fatores integrantes, que é uma técnica padrão para resolver equações diferenciais lineares de primeira ordem.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação para deixar mais claro:
Aqui,
representa a derivada de
em relação a
. Nossa meta é encontrar uma função
que satisfaça essa equação.
Passo 3
Vamos reorganizar a equação para o formato padrão de uma equação diferencial linear de primeira ordem:
No padrão, temos
. Aqui,
e
.
Passo 4
Para resolver, precisamos encontrar um fator integrante
, que é dado por:
Substituindo
:
Passo 5
Multiplicamos toda a equação diferencial pelo fator integrante
:
Isso simplifica a equação para a forma:
Aqui, usamos a propriedade do fator integrante que transforma o lado esquerdo em uma derivada do produto.
Passo 6
Agora, vamos integrar ambos os lados da equação:
O lado esquerdo integra para
. Para o lado direito, usamos a integração por partes, onde escolhemos:
-
→ -
→
Aplicando a integração por partes:
Onde
é a constante de integração.
Passo 7
Voltando à nossa equação integrada:
Agora, vamos multiplicar ambos os lados por
para isolar
:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Onde
é uma constante arbitrária.