Equações de Bernouilli: Equações diferenciais da forma
y^prime+P(x) y=Q(x) y^alpha
com alpha neq 0 e alpha neq 1 são equações de Bernouilli.
Resolver a equação
y^prime-2x y-x raizy=0

Passo 1

O enunciado pede pra resolver a equação diferencial de Bernoulli
y' - 2xy - xraizy = 0,
que tem a forma padrão
y' + P(x)y = Q(x)y^alpha
com P(x)=-tfrac2x, Q(x)=x e alpha=1/2. Vamos usar a substituição típica de Bernoulli e depois fator integrante.

Passo 2

Escrevendo em forma padrão de Bernoulli:
y' - 2xy = x,y^1/2,
identificamos P(x)=-tfrac2x, Q(x)=x e alpha=1/2.

Passo 3

Fazendo a substituição v = y^1-alpha = y^1/2=raizy. Então
v' = 12raizy,y' = 12vy',
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y' = 2v,v'

Passo 4

Substituindo na equação original:
2v v' - 2xv^2 = x v
Dividindo por 2v (assumindo vneq0) obtemos a equação linear
v' - 1xv = x2

Passo 5

Para resolver
v' - 1xv = x2,
calculamos o fator integrante
$$\mu(x) = e^{\int -1/x,dx} = \frac{1}{x}.
mu(x) = e^integral -1/x,dx = 1x á\frac{d}{dx}\Bigl(\frac{v}{x}\Bigr) = \frac12.
1/x\frac{v}{x} = \frac{x}{2} + C \quad\Longrightarrow\quad v = \frac{x^2}{2} + Cx.
$$

Passo 6

Voltando a y: como v=raizy, temos
$$\sqrt{y} = \frac{x^2}{2} + Cx \quad\Longrightarrow\quad y = \Bigl(\frac{x^2}{2} + Cx\Bigr)^2.
$$

Resposta

y = l(tfracx^22 + Cxr)^2

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