Equações de Bernouilli: Equações diferenciais da forma
com
e
são equações de Bernouilli.
Resolver a equação
Resolver a equação
Passo 1
O enunciado pede pra resolver a equação diferencial de Bernoulli
que tem a forma padrão
com
,
e
. Vamos usar a substituição típica de Bernoulli e depois fator integrante.
Passo 2
Escrevendo em forma padrão de Bernoulli:
identificamos
Passo 3
Fazendo a substituição
. Então
logo
Passo 4
Substituindo na equação original:
Dividindo por
Passo 5
Para resolver
calculamos o fator integrante
$$\mu(x) = e^{\int -1/x,dx} = \frac{1}{x}.
$$
Passo 6
Voltando a
: como
, temos
$$\sqrt{y} = \frac{x^2}{2} + Cx \quad\Longrightarrow\quad y = \Bigl(\frac{x^2}{2} + Cx\Bigr)^2.
$$