Seja n>0 um número real. O método de Heron para o cálculo da raiz quadrada de n é definido pela sequência \left(x_{k}\right)_{k \in \mathbb{N}}, dada pela fórmula
x_{k+1}=\frac{1}{2}\left(x_{k}+\frac{n}{x_{k}}\right), \quad \text { com } x_{0}>0 .
a) Mostre que a sequência ( x_{k} ) definida pelo método de Heron é uma sequência de Cauchy.
b) Como a sequencia ( x_{k} ) é de Cauchy então ela converge. Mostre que o seu limite é igual a \sqrt{n}.
c) Utilize o método de Heron para calcular uma aproximação de \sqrt{3} com quatro casas decimais de precisão.

Passo 1

O enunciado dá a sequência \left(x_k\right)_{k\in\mathbb{N}} definida por
x_{k+1}=\frac{1}{2}\left(x_k+\frac{n}{x_k}\right),\qquad x_0>0,\qquad n>0.
O que se pede:
  • (a) Mostrar que a sequência \left(x_k\right) é uma sequência de Cauchy.
  • (b) Usando que é Cauchy (logo converge), mostrar que o limite é \sqrt{n}.
  • (c) Aplicar o método para aproximar \sqrt{3} com quatro casas decimais de precisão.
Lista das informações relevantes do enunciado:
  • n>0 (número real fixo).
  • x_0>0 (termo inicial positivo).
  • Definição recursiva de x_{k+1} em termos de x_k.
  • Pedidos: (a) Cauchy, (b) valor do limite, (c) aproximação numérica de \sqrt{3}.

Passo 2

Primeiro quero estabelecer que todos os termos são positivos (isso é útil depois). Vou provar por indução que x_k>0 para todo k.
  • Base: x_0>0 por hipótese.
  • Passo indutivo: se x_k>0 então x_{k+1}=\dfrac12\big(x_k+\dfrac{n}{x_k}\big). Como x_k>0 e n>0, tem-se \dfrac{n}{x_k}>0; portanto x_{k+1} é média aritmética de dois números positivos, logo x_{k+1}>0.
    Assim x_k>0 para todo k.

Passo 3

Vou estudar o sinal de x_{k+1}-x_k para entender monotonicidade. Calcule:
x_{k+1}-x_k=\frac{1}{2}\Big(x_k+\frac{n}{x_k}\Big)-x_k=\frac{1}{2}\Big(\frac{n}{x_k}-x_k\Big)=\frac{n-x_k^2}{2x_k}.
Como x_k>0, o sinal de x_{k+1}-x_k é o mesmo do numerador n-x_k^2.
  • Se x_k^2>n (ou seja x_k>\sqrt{n}), então n-x_k^2<0 e x_{k+1}<x_k: o termo seguinte é menor (sequência decrescente naquele instante).
  • Se x_k^2<n (ou seja x_k<\sqrt{n}), então n-x_k^2>0 e x_{k+1}>x_k: o termo seguinte é maior (sequência crescente naquele instante).
  • Se x_k=\sqrt{n} então x_{k+1}=x_k (ponto fixo).
Isto mostra que cada termo se move em direção a \sqrt{n}: se está acima, desce; se está abaixo, sobe.

Passo 4

Agora uma identidade muito útil que mostra que os termos não “passam demais” de \sqrt{n}. Seja s=\sqrt{n}. Então
x_{k+1}-s=\frac{1}{2}\Big(x_k+\frac{n}{x_k}-2s\Big) =\frac{1}{2}\Big((x_k-s)+\frac{n}{x_k}-s\Big).
Usando n=s^2 temos \dfrac{n}{x_k}-s=\dfrac{s^2-sx_k}{x_k}= -\dfrac{s(x_k-s)}{x_k}. Substituindo:
x_{k+1}-s=\frac{1}{2}(x_k-s)\Big(1-\frac{s}{x_k}\Big) =\frac{1}{2}(x_k-s)\cdot\frac{x_k-s}{x_k} =\frac{(x_k-s)^2}{2x_k}\ge 0.
Logo para todo k vale x_{k+1}\ge s. Em particular, a partir do primeiro passo (isto é, já para x_1) todos os termos ficam \ge s. Combinando com o resultado do passo anterior: a sequência, a partir de x_1,
  • é decrescente se x_1>\!s;
  • ou constante igual a s se x_1=s;
  • ou (no caso raro) se x_1<s então x_2\ge s e a partir daí passa a ser decrescente e \ge s.
Assim, para todo x_0>0 a sequência a partir de algum índice (de fato a partir de k=1) é monotonicamente decrescente e tem s=\sqrt{n} como limite inferior.

Passo 5

Como a sequência é monotonicamente decrescente (a partir de k=1) e tem limiar inferior s, ela é limitada inferiormente e monotônica. Pelo Teorema do ínfimo para sequências monotônicas reais, qualquer sequência monotônica e limitada converge em \mathbb{R}. Logo \left(x_k\right) converge.
Agora um lembrete didático: definição de sequência de Cauchy — \left(x_k\right) é de Cauchy se, para todo \varepsilon>0, existe N tal que |x_m-x_p|<\varepsilon para todo m,p\ge N. Em \mathbb{R} (espaço completo) toda sequência convergente é Cauchy. Como já mostrei que \left(x_k\right) converge, concluo que \left(x_k\right) é de Cauchy. Isso resolve a parte (a).

Passo 6

Agora a parte (b): seja L o limite da sequência (existe por (a)). Como todos os x_k>0, tem-se L\ge 0. Tomando limites na recorrência (passando k\to\infty), obtemos
L=\frac{1}{2}\Big(L+\frac{n}{L}\Big).
Multiplicando por 2 e rearranjando:
2L=L+\frac{n}{L}\quad\Longrightarrow\quad L=\frac{n}{L}\quad\Longrightarrow\quad L^2=n.
Como L\ge0 e n>0, fica L=\sqrt{n}. Assim o limite da sequência é exatamente \sqrt{n}. Isso responde a parte (b).

Passo 7

Parte (c): calcular aproximação de \sqrt{3} com quatro casas decimais.
Vou aplicar o método com n=3 e escolher x_0=2 (escolha simples e positiva). Faço as iterações e mantenho raciocínio exato quando possível.
  1. x_0=2.
  2. Calcule x_1:
x_1=\frac{1}{2}\Big(2+\frac{3}{2}\Big)=\frac{1}{2}\Big(2+\tfrac{3}{2}\Big)=\frac{1}{2}\cdot\frac{7}{2}=\frac{7}{4}=1{,}75.
  1. Calcule x_2 exatamente:
x_2=\frac{1}{2}\Big(\frac{7}{4}+\frac{3}{7/4}\Big)=\frac{1}{2}\Big(\frac{7}{4}+\frac{12}{7}\Big).
Colocando em denominador comum obtemos
x_2=\frac{1}{2}\cdot\frac{97}{28}=\frac{97}{56}\approx 1{,}7321428571428572.
  1. Calcule x_3 exatamente usando x_2=\dfrac{97}{56}:
x_3=\frac{1}{2}\Big(\frac{97}{56}+\frac{3}{97/56}\Big) =\frac{1}{2}\Big(\frac{97}{56}+\frac{168}{97}\Big).
Colocando em denominador comum (produto 56\cdot97) e simplificando obtemos
x_3=\frac{18817}{10864}\approx 1{,}7320508100147274.
Observação numérica exata útil para estimar o erro: calculei x_3^2. Usando os inteiros:
x_3^2=\frac{18817^2}{10864^2}=\frac{354079489}{118026496}=3+\frac{1}{118026496}.
Portanto x_3^2-3=\dfrac{1}{118026496}. Usando a identidade
x_3-\sqrt{3}=\frac{x_3^2-3}{x_3+\sqrt{3}}=\frac{1}{118026496}\cdot\frac{1}{x_3+\sqrt{3}},
temos
|x_3-\sqrt{3}|=\frac{1}{118026496}\cdot\frac{1}{x_3+\sqrt{3}} <\frac{1}{118026496}\cdot\frac{1}{2\cdot 1{,}7}\quad(\text{pois }x_3\approx1{,}732)
o que dá um número da ordem de 2{,}4\times10^{-9}. Em particular
|x_3-\sqrt{3}|<5\times10^{-5},
ou seja x_3 já aproxima \sqrt{3} com folga para quatro casas decimais.
Logo, arredondando \sqrt{3} com quatro casas decimais obtemos
\sqrt{3}\approx 1{,}7321.

Resposta

(a) A sequência \left(x_k\right) é de Cauchy.
(b) \displaystyle \lim_{k\to\infty}x_k=\sqrt{n}.
(c) \sqrt{3}\approx 1{,}7321.

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