Seja
um número real. O método de Heron para o cálculo da raiz quadrada de
é definido pela sequência
, dada pela fórmula
a) Mostre que a sequência (
) definida pelo método de Heron é uma sequência de Cauchy.
b) Como a sequencia (
) é de Cauchy então ela converge. Mostre que o seu limite é igual a
.
c) Utilize o método de Heron para calcular uma aproximação de
com quatro casas decimais de precisão.
b) Como a sequencia (
c) Utilize o método de Heron para calcular uma aproximação de
Passo 1
O enunciado dá a sequência
definida por
O que se pede:
- (a) Mostrar que a sequência
é uma sequência de Cauchy. - (b) Usando que é Cauchy (logo converge), mostrar que o limite é
. - (c) Aplicar o método para aproximar
com quatro casas decimais de precisão.
Lista das informações relevantes do enunciado:
-
(número real fixo). -
(termo inicial positivo). - Definição recursiva de
em termos de . - Pedidos: (a) Cauchy, (b) valor do limite, (c) aproximação numérica de
.
Passo 2
Primeiro quero estabelecer que todos os termos são positivos (isso é útil depois). Vou provar por indução que
para todo
.
- Base:
por hipótese. - Passo indutivo: se
então . Como e , tem-se ; portanto é média aritmética de dois números positivos, logo .
Assimpara todo .
Passo 3
Vou estudar o sinal de
para entender monotonicidade. Calcule:
Como
, o sinal de
é o mesmo do numerador
.
- Se
(ou seja ), então e : o termo seguinte é menor (sequência decrescente naquele instante). - Se
(ou seja ), então e : o termo seguinte é maior (sequência crescente naquele instante). - Se
então (ponto fixo).
Isto mostra que cada termo se move em direção a
: se está acima, desce; se está abaixo, sobe.
Passo 4
Agora uma identidade muito útil que mostra que os termos não “passam demais” de
. Seja
. Então
Usando
temos
. Substituindo:
Logo para todo
vale
. Em particular, a partir do primeiro passo (isto é, já para
) todos os termos ficam
. Combinando com o resultado do passo anterior: a sequência, a partir de
,
- é decrescente se
; - ou constante igual a
se ; - ou (no caso raro) se
então e a partir daí passa a ser decrescente e .
Assim, para todo
a sequência a partir de algum índice (de fato a partir de
) é monotonicamente decrescente e tem
como limite inferior.
Passo 5
Como a sequência é monotonicamente decrescente (a partir de
) e tem limiar inferior
, ela é limitada inferiormente e monotônica. Pelo Teorema do ínfimo para sequências monotônicas reais, qualquer sequência monotônica e limitada converge em
. Logo
converge.
Agora um lembrete didático: definição de sequência de Cauchy —
é de Cauchy se, para todo
, existe
tal que
para todo
. Em
(espaço completo) toda sequência convergente é Cauchy. Como já mostrei que
converge, concluo que
é de Cauchy. Isso resolve a parte (a).
Passo 6
Agora a parte (b): seja
o limite da sequência (existe por (a)). Como todos os
, tem-se
. Tomando limites na recorrência (passando
), obtemos
Multiplicando por
e rearranjando:
Como
e
, fica
. Assim o limite da sequência é exatamente
. Isso responde a parte (b).
Passo 7
Parte (c): calcular aproximação de
com quatro casas decimais.
Vou aplicar o método com
e escolher
(escolha simples e positiva). Faço as iterações e mantenho raciocínio exato quando possível.
-
. -
Calcule
:
- Calcule
exatamente:
Colocando em denominador comum obtemos
- Calcule
exatamente usando :
Colocando em denominador comum (produto
) e simplificando obtemos
Observação numérica exata útil para estimar o erro: calculei
. Usando os inteiros:
Portanto
. Usando a identidade
temos
o que dá um número da ordem de
. Em particular
ou seja
já aproxima
com folga para quatro casas decimais.
Logo, arredondando
com quatro casas decimais obtemos
Resposta
(a) A sequência
é de Cauchy.
(b) .
(c) .
(b)
(c)