Análise de Desempenho e Convergência: Para cada método implementado - tanto para o cálculo das raízes das funções e quanto para a resolução do sistema linear - os alunos deverão:
Registrar e analisar o tempo de execução;
Estudar a convergência, através do registro dos erros relativos entre iterações;
Comparar o desempenho e discutir as vantagens e limitações de cada método.
Passo 1
Então, vamos entender o que a questão pede! Estamos falando de Análise de Desempenho e Convergência para métodos que calculam raízes das funções e , além de resolver um sistema linear. Precisamos:
Registrar e analisar o tempo de execução dos métodos.
Estudar a convergência observando os erros relativos entre as iterações.
Comparar o desempenho dos métodos, discutindo vantagens e limitações de cada um.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de análise de algoritmos, métodos numéricos e métodos iterativos. Vamos precisar medir tempos, calcular erros relativos e comparar os resultados obtidos.
Passo 2
Primeiro, vamos registrar o tempo de execução de cada método. Para isso, podemos usar funções como time() em linguagens como Python para medir quanto tempo cada método leva para encontrar as raízes ou resolver o sistema linear.
Por exemplo, se estivermos usando o Método de Newton para encontrar a raiz de , antes de iniciar o método, marcamos o tempo inicial. Depois que o método termina, marcamos o tempo final. A diferença entre os dois nos dá o tempo de execução.
Passo 3
Agora, vamos estudar a convergência dos métodos. Convergência aqui significa que, à medida que realizamos mais iterações, os resultados se aproximam cada vez mais da solução verdadeira.
Para isso, calculamos o erro relativo em cada iteração, que é dado por:
Ao registrar esses erros em cada iteração, podemos observar se estão diminuindo, indicando que o método está convergindo para a solução.
Passo 4
Em seguida, vamos comparar o desempenho dos métodos. Para isso, analisamos os tempos de execução e como os erros relativos diminuem ao longo das iterações para cada método.
Por exemplo, podemos comparar o Método de Newton com o Método da Secante para encontrar raízes. Observamos qual método é mais rápido (menor tempo de execução) e qual método atinge a precisão desejada com menos iterações (menor erro relativo).
Passo 5
Por fim, vamos discutir as vantagens e limitações de cada método com base na nossa análise:
Vantagens: Pode incluir rapidez, facilidade de implementação, boa convergência para certos tipos de funções ou sistemas.
Limitações: Pode envolver maior tempo para outras funções, sensibilidade a condições iniciais, complexidade em problemas de grande escala.
Essa discussão ajuda a entender em quais situações cada método é mais apropriado de ser usado.
Resposta
Seguindo esses passos, conseguimos analisar o desempenho e a convergência de cada método implementado para encontrar raízes das funções f(x) e g(x) e resolver o sistema linear, identificando qual método se destaca em termos de velocidade e precisão, além de compreender suas vantagens e limitações.