1. Análise de Desempenho e Convergência: Para cada método implementado - tanto para o cálculo das raízes das funções f(x) e g(x) quanto para a resolução do sistema linear - os alunos deverão:
  • Registrar e analisar o tempo de execução;
  • Estudar a convergência, através do registro dos erros relativos entre iterações;
  • Comparar o desempenho e discutir as vantagens e limitações de cada método.

Passo 1

Então, vamos entender o que a questão pede! Estamos falando de Análise de Desempenho e Convergência para métodos que calculam raízes das funções f(x) e g(x) , além de resolver um sistema linear. Precisamos:
  • Registrar e analisar o tempo de execução dos métodos.
  • Estudar a convergência observando os erros relativos entre as iterações.
  • Comparar o desempenho dos métodos, discutindo vantagens e limitações de cada um.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de análise de algoritmos, métodos numéricos e métodos iterativos. Vamos precisar medir tempos, calcular erros relativos e comparar os resultados obtidos.

Passo 2

Primeiro, vamos registrar o tempo de execução de cada método. Para isso, podemos usar funções como time() em linguagens como Python para medir quanto tempo cada método leva para encontrar as raízes ou resolver o sistema linear.
Por exemplo, se estivermos usando o Método de Newton para encontrar a raiz de f(x) , antes de iniciar o método, marcamos o tempo inicial. Depois que o método termina, marcamos o tempo final. A diferença entre os dois nos dá o tempo de execução.
Tempo de execução = Tempo final - Tempo inicial çã

Passo 3

Agora, vamos estudar a convergência dos métodos. Convergência aqui significa que, à medida que realizamos mais iterações, os resultados se aproximam cada vez mais da solução verdadeira.
Para isso, calculamos o erro relativo em cada iteração, que é dado por:
Erro relativo = | Valor atual - Valor anteriorValor atual | times 100%
Ao registrar esses erros em cada iteração, podemos observar se estão diminuindo, indicando que o método está convergindo para a solução.

Passo 4

Em seguida, vamos comparar o desempenho dos métodos. Para isso, analisamos os tempos de execução e como os erros relativos diminuem ao longo das iterações para cada método.
Por exemplo, podemos comparar o Método de Newton com o Método da Secante para encontrar raízes. Observamos qual método é mais rápido (menor tempo de execução) e qual método atinge a precisão desejada com menos iterações (menor erro relativo).

Passo 5

Por fim, vamos discutir as vantagens e limitações de cada método com base na nossa análise:
  • Vantagens: Pode incluir rapidez, facilidade de implementação, boa convergência para certos tipos de funções ou sistemas.
  • Limitações: Pode envolver maior tempo para outras funções, sensibilidade a condições iniciais, complexidade em problemas de grande escala.
Essa discussão ajuda a entender em quais situações cada método é mais apropriado de ser usado.

Resposta

Seguindo esses passos, conseguimos analisar o desempenho e a convergência de cada método implementado para encontrar raízes das funções f(x) e g(x) e resolver o sistema linear, identificando qual método se destaca em termos de velocidade e precisão, além de compreender suas vantagens e limitações.

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