( 2,0 pts ) Estude a convergência ou divergência de cada sequência:
n^3+3 n^2+2 n-1-n^4+3 n+7

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos que analisar se a sequência n^3+3 n^2+2 n-1-n^4+3 n+7 converge ou diverge. Para isso, vamos usar conceitos de limites de sequências, que nos ajudam a entender o comportamento de uma sequência conforme n fica cada vez maior.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os termos de maior grau no numerador e no denominador da fração. No numerador, o termo de maior grau é n^3 e no denominador é -n^4.

Passo 3

Quando queremos encontrar o limite da fração conforme n tende ao infinito, os termos de menor grau se tornam menos relevantes. Então, podemos simplificar a análise focando apenas nos termos de maior grau:
limn to infty n^3+3 n^2+2 n-1-n^4+3 n+7 approx limn to infty n^3-n^4

Passo 4

Simplificando a fração n^3-n^4, percebemos que ela pode ser reescrita como:
n^3-n^4 = 1-n = -1n

Passo 5

Agora, vamos calcular o limite de -1n conforme n tende ao infinito:
limn to infty -1n = 0
Isso acontece porque conforme n fica cada vez maior, 1n se aproxima de zero, e multiplicar por -1 não muda esse comportamento.

Resposta

A sequência n^3+3 n^2+2 n-1-n^4+3 n+7 converge para 0.

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