1. Resolução de Sistemas Lineares: Desenvolver algoritmos manuais para resolver sistemas lineares e comparar com dois métodos (um iterativo e outro direto). Neste projeto, o sistema terá ordem 4, isto é, deverá ser definido:
A y=b, com A in R^4 times 4 e b in R^4

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para resolver um sistema linear de 4 equações com 4 incógnitas, ou seja, uma matriz A de ordem 4 times 4 e um vetor b de dimensão 4. Vamos precisar usar alguns métodos para resolver esse sistema manualmente e depois comparar com métodos diretos e iterativos. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre álgebra linear, sistemas lineares, e os métodos de resolução como eliminação de Gauss (direto) e Jacobi (iterativo).

Passo 2

Primeiro, vamos definir um sistema linear específico para trabalhar. Vamos escolher uma matriz [A) e um vetor para termos um exemplo concreto. Suponha que temos o seguinte sistema:
Aqui, nossa matriz são:

Passo 3

Vamos resolver esse sistema manualmente usando o método da eliminação de Gauss, que é um método direto. A ideia aqui é manipular as equações para eliminar uma variável de cada vez, facilitando a solução passo a passo. Vamos formar uma matriz aumentada [A|b] e aplicar operações elementares.
Matriz aumentada inicial:
2 & 3 & -1 & 4 & | & 8 -3 & -1 & 5 & -2 & | & -4 1 & 4 & 6 & 1 & | & 12 5 & -2 & 3 & 2 & | & 10

Passo 4

Primeiro, vamos tornar o primeiro elemento da primeira coluna igual a 1 dividindo a primeira linha por 2:
1 & 32 & -12 & 2 & | & 4 -3 & -1 & 5 & -2 & | & -4 1 & 4 & 6 & 1 & | & 12 5 & -2 & 3 & 2 & | & 10
Agora, vamos eliminar o x1 das outras linhas:
  • Linha 2: Linha 2 + 3 times Linha 1
  • Linha 3: Linha 3 - Linha 1
  • Linha 4: Linha 4 - 5 times Linha 1
Após essas operações:
1 & 32 & -12 & 2 & | & 4 0 & 72 & 72 & 4 & | & 8 0 & 52 & 132 & -1 & | & 8 0 & -192 & 112 & -8 & | & -10

Passo 5

Agora, focamos na segunda coluna. Vamos tornar o segundo elemento da segunda linha igual a 1 dividindo a segunda linha por 72 :
1 & 32 & -12 & 2 & | & 4 0 & 1 & 1 & 87 & | & 167 0 & 52 & 132 & -1 & | & 8 0 & -192 & 112 & -8 & | & -10
Em seguida, vamos eliminar o x2 das outras linhas:
  • Linha 1: Linha 1 - 32 times Linha 2
  • Linha 3: Linha 3 - 52 times Linha 2
  • Linha 4: Linha 4 + 192 times Linha 2
Após essas operações:
1 & 0 & -2 & 107 & | & 87 0 & 1 & 1 & 87 & | & 167 0 & 0 & 4 & -217 & | & 167 0 & 0 & 14 & -407 & | & 1387

Passo 6

Agora, vamos para a terceira coluna. Vamos tornar o terceiro elemento da terceira linha igual a 1 dividindo a terceira linha por 4:
1 & 0 & -2 & 107 & | & 87 0 & 1 & 1 & 87 & | & 167 0 & 0 & 1 & -2128 & | & 47 0 & 0 & 14 & -407 & | & 1387
Vamos simplificar -2128 para -34 :
1 & 0 & -2 & 107 & | & 87 0 & 1 & 1 & 87 & | & 167 0 & 0 & 1 & -34 & | & 47 0 & 0 & 14 & -407 & | & 1387
Agora, vamos eliminar o x3 das outras linhas:
  • Linha 1: Linha 1 + 2 times Linha 3
  • Linha 2: Linha 2 - 1 times Linha 3
  • Linha 4: Linha 4 - 14 times Linha 3
Após essas operações:
1 & 0 & 0 & 114 & | & 247 0 & 1 & 0 & 2928 & | & 127 0 & 0 & 1 & -34 & | & 47 0 & 0 & 0 & -31128 & | & 947

Passo 7

Finalmente, vamos resolver para x4 a partir da quarta linha:
-31128 x4 = 947
Multiplicando ambos os lados por -28311 :
x4 = 947 times -28311 = -26322177 approx -1.21
Agora, substituímos x4 de volta nas equações anteriores para encontrar x3 , x2 e x1 :
  • Da terceira linha:
x3 - 34 (-1.21) = 47 Rightarrow x3 + 0.91 = 0.57 Rightarrow x3 approx -0.34
  • Da segunda linha:
x2 + 2928 (-1.21) = 127 Rightarrow x2 - 1.25 = 1.71 Rightarrow x2 approx 2.96
  • Da primeira linha:
x1 + 114 (-1.21) = 247 Rightarrow x1 - 0.086 = 3.43 Rightarrow x1 approx 3.52

Resposta

A solução do sistema linear é aproximadamente:
y = x1 x2 x3 x4 = 3.52 2.96 -0.34 -1.21

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